¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de (7 + 5 ^ 1/2 sen x – 2cos x) ^ -1? Y establezca el valor no negativo más pequeño para el que se produce cada uno.

Answer 1

Es muy importante que use paréntesis cuando sea posible que el orden de las operaciones se malinterprete. Por ejemplo, ¿te refieres a √ (5) · sin (x) o [matemáticas] 5 ^ {(1/2 sin (x))}?

Veamos la función: [matemáticas] (7 + \ sqrt5 sin (x) – 2 cos (x)) ^ {- 1} [/ matemáticas]

Tracé esto en mi calculadora gráfica TI-84 y obtuve este resultado:

(con la configuración de ventana [-10, 10, 1] por [0, ¼, 1]. Parece que el máximo es un cuarto. Te dejaré poner esto en tu calculadora para ver cómo se ve el mínimo.

Pero hagámoslo calculando la derivada. Tenemos una función combinada, así que dejemos que:

• u = [matemáticas] 7 + \ sqrt5 sin (x) – 2 cos (x) [/ matemáticas]
• lo que nos permite definir:
• f (u) = [matemáticas] u ^ {- 1} = \ frac {1} {u} [/ matemáticas]

Ahora, calculemos la derivada de u

• du = [matemáticas] \ sqrt5 cos (x) + 2 sin (x) [/ matemáticas]

Y calcular la derivada de f (u)

• f ‘(u) = [matemáticas] – \ frac {1} {u²} [/ matemáticas] du

¿Qué obtenemos si sustituimos u y du en esa derivada?

• [matemáticas] \ frac {dy} {dx} = – \ frac {1} {(7 + \ sqrt5 sin (x) – 2 cos (x)) ²} · (\ sqrt5 cos (x) + 2 sin (x ))[/matemáticas]
• = [matemática] – \ frac {\ sqrt5 cos (x) + 2 sin (x)} {(7 + \ sqrt5 sin (x) – 2 cos (x)) ²} [/ matemática]

Para encontrar los puntos máximo y mínimo, necesitamos encontrar los puntos en los que la derivada es igual a cero. Para que la derivada sea igual a cero, el numerador debe ser igual a cero.

Resolver:

• [matemática] \ sqrt5 cos (x) + 2 sin (x) = 0 [/ matemática] → restar 2 sin (x) de ambos lados
• [matemáticas] \ sqrt5 cos (x) = – 2 sin (x) [/ matemáticas] → divide ambos lados entre -2 cos (x)
• [matemática] \ frac {- \ sqrt5} {2} = \ frac {sin (x)} {cos (x)} [/ matemática] → qué es [matemática] \ frac {sin} {cos} [/ matemática] ¿igual a?
• [matemáticas] \ frac {- \ sqrt5} {2} = tan (x) [/ matemáticas] → la tangente inversa nos dará X
• x = [matemáticas] tan ^ {- 1} (\ frac {- \ sqrt5} {2}) [/ matemáticas] = -0.84 …
  (use su calculadora para obtener una respuesta más precisa)
• Recuerde que la tangente tiene un período de un π, así que reste (o sume) π para obtener un segundo valor
• x = -0.84 … yx = -3.98 …
• Conecte ambos valores a la función original:
• x = -0.84
• [matemáticas] (7 + \ sqrt5 sin (x) – 2 cos (x)) ^ {- 1} [/ matemáticas]

• Como puede ver, he hecho parte del trabajo aquí. Como puede ver, una de mis respuestas aproximadas es aproximadamente igual al ¼ que calculé como máximo al comienzo de esta respuesta.

Usa tu papel, vuelve a hacer este trabajo y haz los cálculos con números más precisos. Por ejemplo, podría escribir:

• tan ^ -1 (-√5 / 2) → X
• en tu calculadora
• luego obtenga una mejor respuesta para la expresión original para X = ese valor, luego sume o reste π de X para obtener un segundo valor de X, y vuelva a hacer el mismo cálculo para obtener el mínimo.

¿Qué obtuviste por el máximo y el mínimo?

Answer 2

* A2A

[matemáticas] \ begin {align} a \ cos x + b \ sin x & = R \ cos (x- \ alpha) \\\ text {where} R = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} &, \ qquad \ alpha = \ arctan \ dfrac ba \\\ sqrt5 \ sin x-2 \ cos x & = \ sqrt {(\ sqrt5) ^ 2 + 2 ^ 2} \ cos \ left [x- \ arctan \ left (- \ dfrac {\ sqrt5} 2 \ right) \ right] \\ & = 3 \ cos \ left [x- \ arctan \ left (- \ dfrac {\ sqrt5} 2 \ right) \ right] \\\ hline \ text { Sabemos} \\ – 1 \ le \ cos \ left [x- \ arctan \ left (- \ dfrac {\ sqrt5} 2 \ right) \ right] & \ le1 \\ – 3 \ le3 \ cos \ left [x – \ arctan \ left (- \ dfrac {\ sqrt5} 2 \ right) \ right] & \ le3 \\ 4 \ le7 + \ cos \ left [x- \ arctan \ left (- \ dfrac {\ sqrt5} 2 \ right ) \ right] & \ le10 \\\ dfrac1 {10} \ le \ dfrac1 {7+ \ cos \ left [x- \ arctan \ left (- \ dfrac {\ sqrt5} 2 \ right) \ right]} & \ le \ dfrac14 \ Longleftrightarrow \ dfrac1 {10} \ le \ dfrac1 {7+ \ sqrt5 \ sin x-2 \ cos x} \ le \ dfrac14 \ end {align} \ tag * {} [/ math]

---

El mínimo ocurrirá en el segundo cuadrante, el máximo ocurrirá en el cuarto cuadrante. Solo queda por resolver

[matemáticas] \ tan x = – \ dfrac {\ sqrt5} 2 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Nosotros deberíamos tener

[matemáticas] (x, y) = \ left \ {\ left (\ pi- \ arctan \ left (\ dfrac {\ sqrt5} 2 \ right), \ dfrac1 {10} \ right), \ left (2 \ pi – \ arctan \ left (\ dfrac {\ sqrt5} 2 \ right), \ dfrac14 \ right) \ right \} \ tag * {} [/ math]

Answer 3

Obtenemos los máximos y mínimos de [math] f (x) [/ math] estableciendo [math] f ‘(x) = 0 [/ math]

[matemáticas] f (x) = \ dfrac {1} {7 + \ sqrt {5} \ sen x – 2 \ cos x} * [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(x) = – \ dfrac {\ sqrt {5} \ cos x + 2 \ sin x} {(7 + \ sqrt {5} \ sin x – 2 \ cos x) ^ 2} = 0 [/matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ sqrt {5} \ cos x = -2 \ sen x [/ matemáticas] o [matemáticas] \ tan x = – \ frac {\ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas]

Si dibujáramos un triángulo rectángulo donde el lado opuesto fuera [matemáticas] \ sqrt {5} [/ matemáticas] y el lado adyacente fuera [matemáticas] 2 [/ matemáticas], entonces la hipotenusa sería [matemáticas] 3 [/ matemáticas ]

Entonces, si [math] \ tan x = \ frac {\ sqrt {5}} {2} [/ math] entonces [math] \ sin x = \ frac {\ sqrt {5}} {3} [/ math] y [matemáticas] \ cos x = \ frac23 [/ matemáticas].

Como [math] \ tan x <0 [/ math], [math] x [/ math] está en el segundo cuadrante donde [math] \ sin x> 0 [/ math] y [math] \ cos x <0 [/ math] o [math] x [/ math] está en el cuarto cuadrante donde [math] \ sen x <0 [/ math] y [math] \ cos x> 0 [/ math].

Tomando el segundo cuadrante primero,

[matemáticas] f (x) = \ dfrac {1} {7 + \ sqrt {5} (\ frac {\ sqrt {5}} {3}) – 2 (- \ frac23)} = \ dfrac {1} { 10} [/ matemáticas]

En el cuarto cuadrante,

[matemáticas] f (x) = \ dfrac {1} {7 + \ sqrt {5} (- \ frac {\ sqrt {5}} {3}) – 2 (\ frac23)} = \ dfrac {1} { 4} [/ matemáticas]

Entonces, el valor máximo de [math] f (x) [/ math] es [math] \ frac14 [/ math] y el valor mínimo es [math] \ frac {1} {10} [/ math]

* Notamos que el denominador en [math] f (x) [/ math] siempre es positivo ya que [math] 7> \ sqrt {5} +2 [/ math]

Answer 4

.

Primero trace la función y = f (x) y su derivada dy / dx para ver cómo se ven y encontrar aproximadamente dónde están los valores mínimos y máximos deseados:

Luego use un buscador de raíces CAS para obtener una respuesta precisa al encontrar las raíces de la derivada:

O, simplemente puede usar un optimizador CAS para encontrar el mínimo y el máximo de f (x) directamente, sin usar la derivada: