¿Hay escenarios en matemática aplicada en los que es útil tomar funciones trigonométricas de entradas complejas?

Answer 1

Además de (a veces) una inversión de signo, las funciones trigonométricas de las entradas imaginarias son las mismas que las funciones hiperbólicas habituales; para aplicaciones aplicadas ver (por ejemplo) ¿Dónde se usan el seno hiperbólico y el coseno en aplicaciones prácticas? ¿Por qué o cómo fueron descubiertos?

Como era de esperar, si las funciones trigonométricas reales y las funciones trigonométricas imaginarias (= hiperbólicas) aparecen en situaciones físicas relacionadas, habrá casos en los que la formulación completamente compleja que describa sea útil. Por supuesto, las identidades trigonoméricas estándar significan que las funciones trigonométricas de números complejos se expresan de manera relativamente simple en términos de sumas de productos; por ejemplo:
sin (x + jy) = sin (x) .cos (jy) + cos (x) .sin (jy) = sin (x) cosh (y) – cos (x) sinh (y).

Un ejemplo relativamente simple (que quizás no parece inmediatamente una función trigonométrica compleja) es la amplitud de una onda electromagnética que se propaga en un medio con pérdida:
E = A0.sin (Wt-2.pi.x / lambda) .exp (-ax)

Answer 2

Dado que los senos y los cosenos se pueden escribir como combinaciones de exponenciales complejos, no puedo pensar en un ejemplo en el que no se pueda resolver ese tipo de problema expresando entradas como exponenciales complejos, sin siquiera escribir un seno o coseno. Formas equivalentes de resolver el mismo problema, una cuestión de preferencia.