¿Cuál es la ecuación de la línea recta que pasa por el centro del círculo 2x ^ 2 + 2y ^ 2 + 4y + 1 = 0 y perpendicular a la línea recta y = x + 5?

Answer 1

Debes identificar el centro del círculo y la pendiente de la línea perpendicular.

Centro del círculo primero: siga los pasos de cálculo

[matemáticas] 2x ^ 2 + 2y ^ 2 + 4y + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 + 2y + \ frac12 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + (y + 1) ^ 2 -1 + \ frac12 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + (y + 1) ^ 2 = \ frac12 [/ matemáticas]

entonces el centro es el punto (0, -1).

Al lado de la línea perpendicular: para pendientes [matemática] m [/ matemática] y [matemática] m ‘[/ matemática] de líneas perpendiculares tiene [matemática] mm’ = – 1. [/ Matemática]

Entonces tu línea perpendicular tiene pendiente -1.

Ahora poniéndolo todo junto:

la línea a través de (0, -1) con pendiente -1 tiene ecuación

[matemáticas] y + 1 = (- 1) x [/ matemáticas]

o [matemáticas] y = -x-1. [/ matemáticas]

Answer 2

Primero, descubramos dónde está el centro de este círculo llevando su ecuación a una forma estándar.

[matemáticas] \ displaystyle 2x ^ 2 + 2y ^ 2 + 4y + 1 = 0 \\ x ^ 2 + y ^ 2 + 2y + \ frac {1} {2} = 0 \ text {dividir por 2} \\ x ^ 2+ (y ^ 2 + 2y + 1) -1+ \ frac {1} {2} = 0 \ text {suma y resta 1 para completar el cuadrado} \\ x ^ 2 + (y + 1) ^ 2- \ frac {1} {2} = 0 \\ x ^ 2 + (y + 1) ^ 2 = \ left (\ frac {1} {\ sqrt {2}} \ right) ^ 2 \\ [/ math]

Entonces, el círculo tiene un radio de [matemáticas] \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ text {y está centrado en} (0, -1). [/ Matemáticas] En otras palabras, la línea en la que estamos buscar debe pasar por (0, -1).

Ahora, también debe ser perpendicular a [matemáticas] y = x + 5 [/ matemáticas], lo que significa que su pendiente debe ser el recíproco negativo de [matemáticas] m_1 = 1 \ text {(la pendiente de} y = x +5) [/ math], es decir, nuestra pendiente [math] m_2 \ text {debería ser} m_2 = – \ frac {1} {1} = – 1. \\ [/ math]

Entonces la ecuación de la línea con la pendiente [matemática] m_2 = -1 \ text {pasando por} (0, -1) \ text {es} \\ [/ math]

[matemáticas] (y + 1) = – 1 (x-0) \\ \ text {o equivalente} \\ y = -x-1. [/ matemáticas]

Answer 3

[matemáticas] 2x ^ 2 + 2y ^ 2 + 4y + 1 = 0, x ^ 2 + (y + 1) ^ 2 = 1/2 [/ matemáticas]

el centro de este círculo está en [matemáticas] (0, -1) [/ matemáticas]

la línea y = x + 5 tiene un ángulo de inclinación [matemática] 45 ^ o [/ matemática], por lo que la línea perpendicular tiene un ángulo de inclinación [matemática] -45 ^ o [/ matemática]. Por lo tanto, su ecuación será y = -x + C. Ahora sustituya el centro del círculo (0, -1), podemos obtener C = -1.

Entonces la respuesta es

[matemáticas] y = -x-1 [/ matemáticas]

Answer 4

Si es perpendicular a [matemática] y = x + 5 [/ matemática], entonces su pendiente debe ser [matemática] -1 [/ matemática] porque [matemática] – \ frac {1} {1} = – 1 [/ matemática ], y podemos reorganizar la ecuación para que el círculo de arriba sea:

[matemáticas] x ^ 2 + (y + 1) ^ 2 = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

Entonces, desde la forma de pendiente del punto de una línea:

[matemáticas] y + 1 = -x \ Flecha derecha y = -x-1 [/ matemáticas]