Cómo demostrar que la ecuación polar de una elipse es 1 / r = 1 + ecos x

Answer 1

Comenzaremos con una definición para una elipse: considere un punto móvil, [matemática] P [/ matemática] y dos puntos fijos, [matemática] F [/ matemática] y [matemática] G [/ matemática]. Defina [math] f [/ math] para que sea la longitud del segmento [math] \ bar {FP} [/ math], y [math] g [/ math] para que sea la longitud del segmento [math] \ bar {GP} [/ matemáticas]. Luego, una elipse se define como el lugar geométrico de los puntos de manera que [matemática] f + g [/ matemática] es una constante, [matemática] 2l [/ matemática].

Con la definición establecida, ahora podemos encontrar una ecuación general para una elipse. Primero, sin pérdida de generalidad, podemos establecer nuestros ejes de coordenadas de modo que el origen esté en el centro del segmento que une los dos focos ([matemática] \ bar {FG} [/ matemática]), y nuevamente sin pérdida de generalidad, podemos hacer que este segmento sea lineal con el eje [math] x [/ math]. Al hacerlo, tenemos la elipse como se muestra en esta figura:

Ahora, antes de continuar, encontremos algunas relaciones entre el eje semi-mayor , [matemáticas] a [/ matemáticas], el eje semi-menor , [matemáticas] b [/ matemáticas], y la excentricidad lineal , [matemáticas] c [/ math]., y cómo se relacionan con la longitud mencionada [math] 2l = f + g [/ math]. Para encontrar la primera relación, considere cuándo el punto, [matemática] P [/ matemática] es co-lineal con el segmento [matemática] \ bar {FG} [/ matemática]:

De esta figura, está claro que tenemos:

[matemáticas] 2l = f + g = (ac) + (a + c) = 2a \ flecha derecha l = a [/ matemáticas]

Ahora, para obtener la segunda relación, considere cuando el punto, [matemática] P [/ matemática], es perpendicular al segmento [matemática] \ bar {FG} [/ matemática]:

De esto, queda claro que [matemáticas] a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 [/ matemáticas]. Ahora, por definición, la excentricidad, [matemáticas] e = \ tfrac {c} {a} [/ matemáticas]. Por lo tanto, si dividimos ambos lados de la ecuación entre [matemáticas] a ^ 2 [/ matemáticas], tenemos:

[matemáticas] 1 = \ tfrac {b ^ 2} {a ^ 2} + \ tfrac {c ^ 2} {a ^ 2} \ rightarrow \ tfrac {b ^ 2} {a ^ 2} = 1-e ^ 2 [/matemáticas]

Ahora, claramente a partir de las figuras, las coordenadas de los focos están dadas por [matemáticas] F = (- c, 0) [/ matemáticas] y [matemáticas] G = (c, 0) [/ matemáticas]. Si decimos [matemáticas] P = (x, y) [/ matemáticas], y recordamos que [matemáticas] f + g = 2l = 2a [/ matemáticas], entonces tenemos:

[matemáticas] \ sqrt {(x – (- c)) ^ 2+ (y-0) ^ 2} + \ sqrt {(xc) ^ 2 + (y-0) ^ 2} = 2a \\\ rightarrow \ sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + \ sqrt {(xc) ^ 2 + y ^ 2} = 2a [/ matemática]

Ahora, para simplificar esto, intentaremos un truco común que se usa cuando se trata de la suma de raíces cuadradas. Cuando tenemos, [math] \ sqrt {\ alpha} + \ sqrt {\ beta} = \ gamma [/ math], podemos multiplicar ambos lados por el conjugado, [math] \ sqrt {\ alpha} – \ sqrt { \ beta} [/ math], que produce [math] \ alpha- \ beta = \ gamma (\ sqrt {\ alpha} – \ sqrt {\ beta}) [/ math]. Hacer esto a la ecuación anterior da:

[matemáticas] (x + c) ^ 2 + y ^ 2- (xc) ^ 2-y ^ 2 = 2a (\ sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} – \ sqrt {(xc) ^ 2 + y ^ 2}) \\\ rightarrow \ sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} – \ sqrt {(xc) ^ 2 + y ^ 2} = \ frac {4cx} {2a} = 2ex [/ matemáticas]

Ahora, sumando esta ecuación a la ecuación anterior, tenemos:

[matemáticas] 2 \ sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} = 2ex + 2a \\\ rightarrow (x + c) ^ 2 + y ^ 2 = e ^ 2x ^ 2 + 2eax + a ^ 2 \\\ rightarrow x ^ 2 + 2cx + c ^ 2 + y ^ 2 = e ^ 2x ^ 2 + 2cx + a ^ 2 \\\ rightarrow (1-e ^ 2) x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2-c ^ 2 \\\ rightarrow (1-e ^ 2) x ^ 2 + y ^ 2 = b ^ 2 [/ matemática]

En este punto podemos notar, desde arriba, que [matemáticas] \ tfrac {b ^ 2} {a ^ 2} = 1-e ^ 2 [/ matemáticas]. Si sustituimos esto en la ecuación anterior, y dividimos ambos lados entre [matemáticas] b ^ 2 [/ matemáticas] llegamos a la forma muy familiar de la ecuación para una elipse:

[matemáticas] \ frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 [/ matemáticas]

Sin embargo, por la forma en que se formuló la pregunta, es más adecuado usar la versión anterior de la ecuación. Sustituyendo en coordenadas polares: [matemática] x = r \ cos {\ theta} [/ matemática], [matemática] y = r \ sin {\ theta} [/ matemática] encontramos:

[matemáticas] (1-e ^ 2) r ^ 2 \ cos ^ 2 {\ theta} + r ^ 2 \ sin ^ 2 {\ theta} = b ^ 2 \\\ rightarrow -e ^ 2 \ cos ^ 2 { \ theta} + (\ sin ^ 2 {\ theta} + \ cos ^ 2 {\ theta}) = \ frac {b ^ 2} {r ^ 2} \\ \ rightarrow \ frac {b ^ 2} {r ^ 2} = 1-e ^ 2 \ cos ^ 2 {\ theta} [/ math]

Tenga en cuenta que esta no es la ecuación proporcionada por el OP. Claramente, la ecuación proporcionada en la pregunta no es correcta, ya que no proporciona ningún parámetro para escalar la elipse (es decir, uno de [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática] o [matemática] c [/ matemática], o algún otro parámetro que dependa de uno de esos parámetros debe estar presente en la ecuación).