Cómo demostrar que la ecuación [matemática] 3 ^ x = 3 – x [/ matemática] solo tiene una solución

Answer 1

Considere la función [matemáticas] f (x) = 3 ^ x + x-3 [/ matemáticas].

Tomando derivados, tenemos [math] f ‘(x) = \ mathrm {ln} 3 (3 ^ x) +1> 0 [/ math] para todos [math] x [/ math]. Dado que el gradiente de [math] f (x) [/ math] siempre es positivo, [math] f (x) [/ math] es estrictamente monotónicamente creciente . Es decir, para [matemáticas] b> a [/ matemáticas], [matemáticas] f (b)> f (a) [/ matemáticas] para todas [matemáticas] a, b [/ matemáticas].

• Demuestre que [matemáticas] f (x) = 0 [/ matemáticas] tiene una solución

Tenga en cuenta que [matemáticas] f (0) = 3 ^ 0 + 0-3 = -2 0 [/ matemáticas] . Como [math] f (x) [/ math] es continuo , debe cruzar el eje [math] x [/ math] en algún lugar entre [math] x = 0 [/ math] y [math] x = 1 [/ matemática], y por lo tanto existe una [matemática] x [/ matemática] que satisface [matemática] 0 <x <1 [/ matemática] tal que [matemática] f (x) = 0 [/ matemática]

• Muestre que [math] f (x) = 0 [/ math] solo tiene una solución [math] 1 [/ math]

Denote la raíz que acabamos de encontrar como [math] x_0 [/ math]. Supongamos que hay otra raíz, [matemáticas] x_1 [/ matemáticas], que aún no hemos encontrado. Eso significaría [matemáticas] f (x_0) = f (x_1) = 0 [/ matemáticas]. Sin embargo, eso contradice las propiedades de una función estrictamente monotónicamente creciente . Por contradicción, esta segunda raíz, [matemáticas] x_1 [/ matemáticas], no puede existir.

[matemática] \ por lo tanto [/ matemática] Solo hay [matemática] 1 [/ matemática] solución real para [matemática] f (x) = 0 [/ matemática] aka [matemática] 3 ^ x = x-3 [/ matemática ]

Answer 2

Las otras respuestas mostraron que existe una solución y que es única usando el hecho de que [matemáticas] 3 ^ x + x [/ matemáticas] está aumentando de manera monótona. Sin embargo, en realidad es posible encontrar una solución de forma cerrada usando la función Lambert W:

Establezca [matemáticas] y = 3-x. [/ Matemáticas]

Luego tenemos [matemáticas] 3 ^ {3-y} = y [/ matemáticas], que es equivalente a [matemáticas] 27 = y 3 ^ y [/ matemáticas]. Esto implica [matemáticas] 27 ln (3) = (ln (3) y) e ^ {ln (3) y} [/ matemáticas], de modo que [matemáticas] y ln (3) = W (27 ln (3) )[/matemáticas] . Entonces [matemáticas] x = 3 – \ frac {W (27 ln (3))} {ln (3)} [/ matemáticas]

Si bien la función Lambert W es multivalor con un corte de rama a -1 / e, solo la rama 0 es real para entradas positivas, por lo que solo hay una solución real. Numéricamente, es aproximadamente igual a 0.741551813045871674556318343185373316165553686405453748037….

Answer 3

El lado izquierdo es igual a exp [x * ln (3)]. Su derivada es igual a ln (3) * exp [x * ln (3)], lo cual es positivo para todas las x. Entonces, el lado izquierdo está aumentando estrictamente en todas partes. La derivada del lado derecho es -1, por lo que el lado derecho está disminuyendo estrictamente. Una función creciente y una función decreciente pueden cruzarse como máximo una vez.

Para mostrar que se cruzan una vez, considere x = 0 yx = 1. Para x = 0, el lado izquierdo es igual a 1 y el lado derecho es igual a 3. Entonces el lado izquierdo lado derecho. Como ambas son funciones continuas, las dos funciones deben ser iguales para algunas x, de modo que 0

Answer 4

Dibujando un gráfico …

Primero dibuje y = 3 ^ x y luego dibuje y = 3-x en el gráfico anterior … verá que solo hay un punto de intersección y, por lo tanto, solo existe una solución

Answer 5

Lo reformulas para

3 ^ x + x = 3

Tanto 3 ^ x como x están subiendo monótonamente (siempre suben, nunca caen), por lo que 3 ^ x + x también lo está. Debido a esto, el gráfico y = 3 ^ x + x solo puede cruzar la línea y = 3 una vez (porque nunca “gira” ya que está aumentando monotónicamente), por lo que solo puede haber una solución única.