* A2A: –
[matemáticas] \ implica f (x) = \ left (\ arcsin x \ right) ^ 3 + \ left (\ arccos x \ right) ^ 3 [/ math]
[math] \ star [/ math] Sea [math] \ arcsin x = \ theta \ implica \ arccos x = \ left (\ dfrac {\ pi} {2} – \ theta \ right) [/ math]. Recuerde que [matemáticas] \ theta \ in \ left [- \ dfrac {\ pi} {2}, \ dfrac {\ pi} {2} \ right] [/ math]
[matemáticas] \ implica f (\ theta) = \ theta ^ 3 + \ left (\ dfrac {\ pi} {2} – \ theta \ right) ^ 3 [/ math]
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[matemáticas] \ implica f (\ theta) = \ left (\ theta + \ dfrac {\ pi} {2} – \ theta \ right) \ left [\ theta ^ 2 + \ theta \ left (\ dfrac {\ pi} {2} – \ theta \ right) + \ left (\ dfrac {\ pi} {2} – \ theta \ right) ^ 2 \ right] [/ math]
[math] \ star [/ math] Expandiendo todos los términos y usando Completando el método cuadrado obtenemos: –
[matemáticas] \ implica f (\ theta) = \ left (\ dfrac {3 \ pi} {2} \ right) \ left [\ left (\ theta- \ dfrac {\ pi} {4} \ right) ^ 2 + \ dfrac {\ pi ^ 2} {48} \ right] [/ math]
[math] \ star [/ math] Ahora, el valor máximo y mínimo de [math] f (\ theta) [/ math] dependerá del valor mínimo y máximo de [math] \ left (\ theta- \ dfrac {\ pi} {4} \ right) ^ 2 [/ math] y por lo tanto tenemos: –
[matemáticas] \ implica \ boxed {f \ left (\ dfrac {\ pi} {4} \ right) = \ text {Minima} = \ dfrac {\ pi ^ 3} {32}} [/ math]
[matemáticas] \ implica \ boxed {f \ left (- \ dfrac {\ pi} {2} \ right) = \ text {Maxima} = \ dfrac {7 \ pi ^ 3} {8}} [/ math]