¿Cuáles son las raíces de la ecuación [matemáticas] f (x) = 2 ^ x – 2x [/ matemáticas]?

Answer 1

Paso a paso. Suponga que una solución es racional [matemática] x_ {0} = \ frac {p} {q} [/ matemática] [matemática] p [/ matemática] y [matemática] q [/ matemática] es relativamente primo

[matemáticas] 2 ^ {\ frac {p} {q}} = 2 \ frac {p} {q} [/ matemáticas]

[matemáticas] q2 ^ {\ frac {p} {q}} = 2p [/ matemáticas]

A la derecha hay un número entero y esto es posible solo si [math] q [/ math] realmente divide [math] p [/ math] ya que [math] \ sqrt [q] {2} [/ math] nunca es racional .

Entonces no hay soluciones puramente racionales. Probemos soluciones enteras entonces.

[matemáticas] 2 ^ {p} = 2p [/ matemáticas]

Suponga que p es par. De

[matemáticas] 2 ^ {2 ^ mk} = 2 ^ {m + 1} k [/ matemáticas]

vemos que debe ser [matemática] p = 2 ^ m [/ matemática] ya que [matemática] k [/ matemática] debe ser [matemática] 1 [/ matemática]. Llegamos a

[matemáticas] 2 ^ {2 ^ m} = 2 ^ {m + 1} [/ matemáticas]

o

[matemáticas] 2 ^ m = m + 1 [/ matemáticas]

Esto puede tener solo un número finito de soluciones porque [matemática] 2 ^ x [/ matemática] crece más rápido que [matemática] x [/ matemática]

ya [matemáticas] 2 ^ 3 = 8> 4 [/ matemáticas]

Reemplazar tantas veces como queramos

[matemáticas] 2 ^ {2 ^ {2 ^ {2 ^ {m} -1} -1} -1} = m + 1 [/ matemáticas]

vemos que [matemática] 2 ^ {m} -1 [/ matemática], con [matemática] m> 0 [/ matemática], no puede ser mayor que [matemática] 1 [/ matemática] de lo contrario tendríamos un crecimiento infinito dependiendo en el número de niveles en la expansión. A partir de ahí [matemática] m = 1 [/ matemática] si [matemática] p [/ matemática] es par, lo que da [matemática] p = 2 [/ matemática].

Para [math] p [/ math] impar tenemos

[matemáticas] 2 ^ {2m + 1} = 2 (2m + 1) [/ matemáticas]

que es posible solo si [matemática] 2m + 1 = 1 [/ matemática] dando otra solución [matemática] m = 0 [/ matemática] que es [matemática] p = 1 [/ matemática]

Que estas son solo soluciones reales posibles proviene del hecho de que la primera derivada

[matemáticas] f ‘(x) = ln (2) 2 ^ x-2 [/ matemáticas]

tiene solo un cero y tiene una función monotónicamente creciente, lo que significa que [math] f (x) [/ math] tiene un mínimo, por lo que puede tener como máximo dos ceros reales. Como hemos encontrado ambos, la situación es clara. (Normalmente, ampliaríamos aquí la aproximación para este cero, pero no hay necesidad de hacerlo aquí).

Otras soluciones son complejas y se dan en forma de función Lambert W

[matemáticas] \ displaystyle – \ frac {W_ {n} (- \ frac {\ ln (2)} {2})} {\ ln (2)} [/ matemáticas]

y no hay mucho que decir sobre ellos.

Answer 2

Deje, p (x) = 2 ^ x

q (x) = 2x

f (x) = p (x) – q (x)

p ‘(x) = (2 ^ x) (ln2) pertenece (0, infinito)

p “(x) = (2 ^ x) (ln2) ^ 2

para p ‘(x) = 2

(2 ^ x) (ln2) = 2

x = ln [2 / ln2] / ln2 = 1.528766373

Entonces, en el caso de y = p (x), el valor y la pendiente aumentan gradualmente. Por otro lado, la pendiente de y = q (x) permanece constante.

Entonces la curva y = p (x) puede cortar el curva y = q (x) casi dos veces, primero para x <1.528766373 y segundo para x> 1.528766373

Por golpe y prueba pude encontrar dos soluciones x = 1 yx = 2.

Pero sabemos que puede haber al menos dos intersecciones entre p (x) y q (x) y, por lo tanto, existen exactamente dos soluciones:> 1, 2

Answer 3

Podemos usar la función Lambert [matemáticas] W [/ matemáticas]:

[matemáticas] \ begin {align *} 2 ^ {x} & = 2x \\ 1 & = 2x \ cdot 2 ^ {- x} \\ 1 & = 2x e ^ {-x \ ln2} \\ – \ frac { \ ln 2} {2} & = – x \ ln 2 e ^ {- x \ ln2} \\ W_n \ left (- \ frac {\ ln 2} {2} \ right) & = – x \ ln 2 \ \ – \ frac {1} {\ ln 2} W_n \ left (- \ frac {\ ln 2} {2} \ right) & = x \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

Answer 4

cada vez que obtienes una ecuación para encontrar raíces donde se unen dos derechos diferentes (algebric, exponencial, imaginario, trigonométrico) tienes que ir con gráficos de trazado. no se preocupe, los gráficos aproximados funcionarán bien, solo trace los puntos de ambas funciones en todas las ordenadas donde va a existir la función, luego trace un gráfico aproximado y de manera similar la otra … Voy a votar la primera respuesta porque dice que hay una raíz pero en realidad no existen dos raíces raíz en el tercer cuadrante aunque Y = 2x existen allí pero y = 2 ^ X NO EXISTE. también adjunto la foto de un gráfico aproximado

entonces las raíces rx = 1 yx = 2 no duden en preguntar cualquier duda

Answer 5

La función f es la diferencia entre una curva exponencial y una línea recta, por lo que geométricamente está claro que pueden cruzarse como máximo dos veces.

Por la simetría y la simplicidad de la ecuación, es bastante claro que x = 1 yx = 2 son soluciones y pueden ser las únicas.

Este tipo de ecuación se resuelve mejor en general determinando el número máximo de raíces al considerar la derivada de la función y los rangos sobre los cuales puede ser positiva (negativa). Los métodos numéricos estándar pueden encontrar fácilmente todas las raíces.

Answer 6

F (x) = 2 ^ x – 2x
F (0) = 2 ^ 0 – 2 (0) = 1-0 = 1
x ≠ 0
F (1) = 2 ^ 1 – 2 (1) = 2-2 = 0
x = 1 es un factor
F (2) = 2 ^ 2 – 2 (2) = 4-4 = 0
F (3) = 2 ^ 3-2 (3) = 8-6 = 2
x ≠ 3

Los factores son 1 Nd 2
x = 1 o 2

Otro método alternativo es utilizar el método de iteración Newton Raphson o el método Regula Falsi (método de posición falsa)

Answer 7

Esto se puede responder dibujando gráficos superpuestos de 2 ^ x y 2x. Los puntos en los que se encuentran, es decir, la abscisa (coordenada x) del punto, son la raíz de esta función. Por lo tanto, estos dos gráficos se encuentran solo en dos puntos que son x = 1 yx = 2. Por lo tanto, x = 1 yx = 2 son las dos raíces de esta pregunta.

Espero que esto ayude.

Gracias

Answer 8

Simplemente trazar también es una buena manera de visualizar la respuesta =

Por lo tanto, x = 1 yx = 2 es la respuesta.

Answer 9

Si traza el gráfico para f (x), no puede haber más de dos raíces. Por observación, x = 1 yx = 2 son las únicas raíces reales.