Supongamos que n es cualquier número entero mayor que uno.
Por el teorema de Newton obtenemos la suma de las raíces de la ecuación polinómica
[matemáticas] \; x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + a_ {n-2} x ^ {n-2} +… + a_ {1} x + a_ {0 } = 0 \; [/ matemáticas]
es [matemáticas] \; – a_ {n-1} \ ;. \; \; \; ……… .. (1) [/ matemáticas]
- En x sqrt (x) + sqrt (x) + x + 1 = 0, ¿cómo puedo resolver para x?
- Si [math] w [/ math] es la quinta raíz de la unidad, ¿qué es [math] (1 + w) (1 + w ^ 2) (1 + w ^ 3) [/ math]?
- ¿Cómo definirías [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] como una integral?
- Cómo integrar [matemáticas] \ dfrac {1} {(3 \ sen x + 4 \ cos x) ^ 2} [/ matemáticas]
- Cómo integrar (sin ^ -1x) ^ 2
Como las enésimas raíces de la unidad son las raíces de la ecuación polinómica [matemáticas] \; x ^ {n} + 0.x ^ {n-1} + 0.x ^ {n-2} +… + 0.x- 1 = 0 \ ;, [/ matemática] [matemática] \; [/ matemática]
de (1) obtenemos que la suma de todas las enésimas raíces de la unidad es igual a [matemáticas] \; 0 \ ;. [/ matemáticas]
Otra prueba:
Sabemos que hay exactamente [matemáticas] \; n \; \; [/ matemáticas] enésimas raíces de unidad que son [matemáticas] \; e ^ {\ frac {ik2 \ pi} {n}} \ ;, \; k = 0,1,2, … n-2, n-1 \;. \; [/ math]
Por lo tanto, las raíces se pueden expresar como [matemáticas] \; 1, \ omega, \ omega ^ {2}, \ omega ^ {3}, …, \ omega ^ {n-1} \;, \; [/ matemáticas] donde [matemáticas] \; \ omega = \; e ^ {\ frac {i2 \ pi} {n}} \; [/ matemáticas]
Por lo tanto, la suma de las enésimas raíces de la unidad es igual a
[matemáticas] \; 1 + \ omega + \ omega ^ {2} + \ omega ^ {3},… + \ omega ^ {n-1} \; [/ matemáticas]
[matemáticas] \; = \ frac {\ omega ^ {n} -1} {\ omega-1} [/ matemáticas]
[matemáticas] \; = 0 \; \; [/ matemáticas] ya que [matemáticas] \; \ omega ^ {n} = 1 \;. \; [/ matemáticas]
Otra prueba:
Supongamos que [math] \; a_ {1}, a_ {2}, … a_ {n-1}, a_ {n} \; \; [/ math] son [math] \; n \; [/ math] Enésimas raíces de la unidad.
Por lo tanto, [matemática] \; \; [/ matemática] [matemática] a_ {1}, a_ {2}, … a_ {n-1}, a_ {n} \; \; [/ matemática] son los ceros del polinomio [matemáticas] \; \; x ^ {n} – 1 \;. \; [/ matemáticas]
Por lo tanto
[matemáticas] \; \; \; x ^ {n} – 1 \; [/ matemáticas]
[matemáticas] = (x-a_ {1}) (x-a_ {2})… (x-a_ {n}) [/ matemáticas]
[matemáticas] \; = x ^ {n} – (a_ {1} + a_ {2} +… + a_ {n}) x ^ {n-1} +… [/ matemáticas]
[matemáticas] + (- 1) ^ {n} [/ matemáticas] [matemáticas] a_ {1} a_ {2} a_ {3}… a_ {n} \; \; \; \; [/ matemáticas] [matemáticas ] ………. (2) [/ matemáticas]
Comparando el coeficiente de [matemáticas] \; x ^ {n-1} \; [/ matemáticas] de (2) obtenemos
[matemáticas] a_ {1} + a_ {2} +… + a_ {n} = 0 \ ;. [/ matemáticas]
es decir, la suma de las enésimas raíces de la unidad es cero.