¿Cuál es la integral de [matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {\ cos (\ alpha) \ cos (x) +1} {\ cos (\ alpha) + \ cos (x)} \, dx [/ math] ?

Answer 1

Deje que [matemáticas] I = \ int \ frac {\ cos (\ alpha) \ cos (x) + 1} {\ cos (\ alpha) + \ cos (x)} dx \, \, \, \, —- (1) [/ matemáticas]

Como [matemática] \ cos (\ alpha) \ cos (x) = \ frac {1} {2} (\ cos (x + \ alpha) + \ cos (x – \ alpha)) [/ math]

Y [matemáticas] \ cos (\ alpha) + \ cos (x) = 2 \ cos (\ frac {x + \ alpha} {2}) \ cos (\ frac {x – \ alpha} {2}) [/ matemáticas]

Entonces, la ecuación [matemáticas] (1) [/ matemáticas] se convierte en

[matemáticas] I = \ int \ frac {\ frac {1} {2} (\ cos (x + \ alpha) + \ cos (x – \ alpha)) + 1} {2 \ cos (\ frac {x + \ alpha} {2}) \ cos (\ frac {x – \ alpha} {2})} dx [/ math]

[matemáticas] = \ int \ frac {\ cos (x + \ alpha) + \ cos (x – \ alpha) + 2} {4 \ cos (\ frac {x + \ alpha} {2}) \ cos (\ frac {x – \ alpha} {2})} dx [/ math]

[matemáticas] = \ int \ frac {2 \ cos ^ 2 (\ frac {x + \ alpha} {2}) – 1 + 2 \ cos ^ 2 (\ frac {x – \ alpha} {2}) – 1 + 2} {4 \ cos (\ frac {x + \ alpha} {2}) \ cos (\ frac {x – \ alpha} {2})} dx [/ math]

[matemáticas] = \ int \ frac {\ cos ^ 2 (\ frac {x + \ alpha} {2}) + \ cos ^ 2 (\ frac {x – \ alpha} {2})} {2 \ cos ( \ frac {x + \ alpha} {2}) \ cos (\ frac {x – \ alpha} {2})} dx [/ math]

[matemáticas] = \ int \ frac {\ cos ^ 2 (\ frac {x + \ alpha} {2})} {2 \ cos (\ frac {x + \ alpha} {2}) \ cos (\ frac { x – \ alpha} {2})} dx + \ int \ frac {\ cos ^ 2 (\ frac {x – \ alpha} {2})} {2 \ cos (\ frac {x + \ alpha} {2 }) \ cos (\ frac {x – \ alpha} {2})} dx [/ math]

[matemáticas] = \ int \ frac {\ cos (\ frac {x + \ alpha} {2})} {2 \ cos (\ frac {x – \ alpha} {2})} dx + \ int \ frac { \ cos (\ frac {x – \ alpha} {2})} {2 \ cos (\ frac {x + \ alpha} {2})} dx [/ math]

[matemáticas] = I_1 + I_2 \, \, \, \, —- (2) [/ matemáticas]

Donde [matemáticas] I_1 = \ int \ frac {\ cos (\ frac {x + \ alpha} {2})} {2 \ cos (\ frac {x – \ alpha} {2})} dx \, \, \, \, —- (3) [/ matemáticas]

[matemáticas] I_2 = \ int \ frac {\ cos (\ frac {x – \ alpha} {2})} {2 \ cos (\ frac {x + \ alpha} {2})} dx \, \, \ , \, —- (4) [/ matemáticas]

Deje [math] u = \ frac {x – \ alpha} {2} [/ math]

[matemáticas] \ implica x = 2u + \ alpha [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ frac {dx} {du} = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica dx = 2du [/ matemáticas]

Entonces, al sustituir [matemáticas] x [/ matemáticas] por [matemáticas] u [/ matemáticas] en [matemáticas] I_1 [/ matemáticas], tenemos,

[matemáticas] I_1 = \ int \ frac {\ cos (\ frac {2u + \ alpha + \ alpha} {2})} {2 \ cos (\ frac {2u + \ alpha – \ alpha} {2})} 2 du [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ int \ frac {\ cos (\ frac {2u + 2 \ alpha} {2})} {\ cos (\ frac {2u} {2})} du [/ math]

[matemáticas] = \ int \ frac {\ cos (u + \ alpha)} {\ cos (u)} du [/ matemáticas]

[matemática] = \ int \ frac {\ cos (u) \ cos (\ alpha) – \ sin (u) \ sin (\ alpha)} {\ cos (u)} du [/ math]

[matemáticas] = \ int \ cos (\ alpha) du – \ int \ sin (\ alpha) \ tan (u) du [/ math]

[matemáticas] = \ cos (\ alpha) u – \ sin (\ alpha) ln | \ cos (u) | [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ cos (\ alpha) \ frac {x – \ alpha} {2} – \ sin (\ alpha) ln | \ cos (\ frac {x – \ alpha} {2}) | \, \, \, \, ——— (5) [/ matemáticas]

Deje [math] v = \ frac {x + \ alpha} {2} [/ math]

[matemáticas] \ implica x = 2v – \ alpha [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ frac {dx} {dv} = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica dx = 2dv [/ matemáticas]

Entonces, al sustituir [math] x [/ math] por [math] v [/ math] en [math] I_2 [/ math], tenemos,

[matemáticas] I_2 = \ int \ frac {\ cos (\ frac {2v – \ alpha – \ alpha} {2})} {2 \ cos (\ frac {2v – \ alpha + \ alpha} {2})} 2 dv [/ matemáticas]

[math] = \ int \ frac {\ cos (v – \ alpha)} {\ cos (v)} dv [/ math]

[matemática] = \ int \ cos (\ alpha) dv + \ int \ sin (\ alpha) \ tan (v) dv [/ math]

[matemáticas] = \ cos (\ alpha) v + \ sin (\ alpha) ln | \ cos (v) | [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ cos (\ alpha) \ frac {x + \ alpha} {2} + \ sin (\ alpha) ln | \ cos (\ frac {x + \ alpha} {2}) | \, \, \, \, ——— (6) [/ matemáticas]

De las ecuaciones [matemáticas] (2) [/ matemáticas], [matemáticas] (5) [/ matemáticas] y [matemáticas] (6) [/ matemáticas] tenemos,

[matemáticas] I = \ cos (\ alpha) \ frac {x – \ alpha} {2} – \ sin (\ alpha) ln | \ cos (\ frac {x – \ alpha} {2}) | + \ cos (\ alpha) \ frac {x + \ alpha} {2} + \ sin (\ alpha) ln | \ cos (\ frac {x + \ alpha} {2}) | [/ math]

[matemáticas] = \ cos (\ alpha) \ frac {x – \ alpha + x + \ alpha} {2} + \ sin (\ alpha) (ln | \ cos (\ frac {x + \ alpha} {2} ) | – ln | \ cos (\ frac {x – \ alpha} {2}) |) [/ math]

[matemáticas] = x \ cos (\ alpha) + \ sin (\ alpha) (ln | \ cos (\ frac {x + \ alpha} {2}) | – ln | \ cos (\ frac {x – \ alpha } {2}) |) [/ matemáticas]

Puedes simplificarlo aún más.

Answer 2

[matemáticas] \ displaystyle I = \ int \ dfrac {\ cos \ alpha \ cos x +1} {\ cos \ alpha + \ cos x} dx [/ math]

podemos escribir [matemáticas] Numerador = \ cos \ alpha (\ cos \ alpha + \ cos x) + \ sin ^ 2 \ alpha [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] \ displaystyle I = \ int \ dfrac {\ cos \ alpha (\ cos \ alpha + \ cos x)} {\ cos \ alpha + \ cos x} dx + \ int \ dfrac {\ sin ^ 2 \ alpha } {\ cos \ alpha + \ cos x} dx [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int \ cos \ alpha dx + \ sin ^ 2 \ alpha \ int \ dfrac {1} {\ cos \ alpha + \ cos x} dx [/ math]

[math] = \ displaystyle x \ cos \ alpha + \ sin ^ 2 \ alpha I_1 [/ math]

donde [math] I_1 = \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {\ cos \ alpha + \ cos x} dx [/ math]

Sustituye [matemáticas] \ tan \ dfrac x2 = t; \ cos x = \ dfrac {1-t ^ 2} {1 + t ^ 2}; dx = \ dfrac {2dt} {1 + t ^ 2} [/ math]. Al mismo tiempo por conveniencia, deje que [math] \ tan \ dfrac {\ alpha} 2 = a [/ math]; [matemáticas] \ cos \ alpha = \ dfrac {1-a ^ 2} {1 + a ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] I_1 = \ displaystyle \ int \ dfrac {\ dfrac {2dt} {1 + t ^ 2}} {\ dfrac {1-a ^ 2} {1 + a ^ 2} + \ dfrac {1-t ^ 2} {1 + t ^ 2}} dt [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int \ dfrac {1 + a ^ 2} {1-a ^ 2t ^ 2} dt = \ dfrac {1 + a ^ 2} {2a} \ ln \ left | \ dfrac {1 + en} {1-en} \ right | [/ math]

Pero [matemáticas] \ sin \ alpha = \ dfrac {2a} {1 + a ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] I_1 = \ dfrac {1} {\ sin a} \ ln \ left | \ dfrac {1+ \ tan \ dfrac {\ alpha} 2 \ tan \ dfrac x2} {1- \ tan \ dfrac {\ alpha} 2 \ tan \ dfrac x2} \ right | [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {\ sin a} \ ln \ left | \ dfrac {\ cos \ dfrac x2 \ cos \ dfrac {\ alpha} 2 + \ sin \ dfrac {\ alpha} 2 \ sin \ dfrac x2} {\ cos \ dfrac {\ alpha} 2 \ cos \ dfrac x2- \ sin \ dfrac {\ alpha} 2 \ sin \ dfrac x2} \ right | [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {\ sin a} \ ln \ left | \ dfrac {\ cos \ dfrac {x- \ alpha} 2} {\ cos \ dfrac {x + \ alpha} 2} \ right | [/ math]

Conectando el valor

[matemáticas] I = \ boxed {\ displaystyle x \ cos \ alpha + \ sin \ alpha \ ln \ left | \ dfrac {\ cos \ dfrac {x- \ alpha} 2} {\ cos \ dfrac {x + \ alpha} 2} \ right | + C} [/ math]

Answer 3

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