¿Qué es integral de [math] \ displaystyle \ int xe ^ x \ cos x \ space \ mathrm dx [/ math]?

Answer 1

* A2A

[matemáticas] \ begin {align} I & = \ int xe ^ x \ cos x \ space \ mathrm dx \\\ text {Let} & u = x \ qquad \ qquad \ implica \ mathrm du = \ mathrm dx \\\ text {Y} & \ mathrm dv = e ^ x \ cos x \ space \ mathrm dx \ implica v = \ dfrac12e ^ x (\ sin x + \ cos x) \\\ hline I & = \ dfrac12xe ^ x (\ sin x + \ cos x) – \ int \ dfrac12e ^ x (\ sin x + \ cos x) \ space \ mathrm dx \\ & = \ dfrac12xe ^ x (\ sin x + \ cos x) – \ dfrac12 \ int e ^ x \ sin x \ space \ mathrm dx- \ dfrac12 \ int e ^ x \ cos x \ space \ mathrm dx \\ & = \ dfrac12xe ^ x (\ sin x + \ cos x) – \ dfrac14e ^ x (\ sin x- \ cos x ) – \ dfrac14e ^ x (\ sin x + \ cos x) + C \\ & = \ dfrac12xe ^ x (\ sin x + \ cos x) – \ dfrac12e ^ x \ sin x \ end {align} \ tag * {} [/matemáticas]

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Dejado como ejercicio para el lector interesado:

• [matemáticas] \ displaystyle \ int e ^ {ax} \ sin bx \ space \ mathrm dx = \ dfrac {e ^ {ax} (a \ sin bx-b \ cos bx)} {a ^ 2 + b ^ 2} \ tag * {} [/ math]
• [matemáticas] \ displaystyle \ int e ^ {ax} \ cos bx \ space \ mathrm dx = \ dfrac {e ^ {ax} (a \ cos bx + b \ sin bx)} {a ^ 2 + b ^ 2} \ tag * {} [/ math]

Answer 2

Esta es la parte real de la integral de [matemáticas] xe ^ {(1 + i) x} [/ matemáticas].

Por partes, [matemáticas] \ dfrac {xe ^ {(1 + i) x}} {1 + i} – \ dfrac {e ^ {(1 + i) x}} {(1 + i) ^ 2} [ /matemáticas].

Ahora use [math] \ dfrac1 {1 + i} = \ dfrac12 (1-i) [/ math] y [math] – \ dfrac1 {(1 + i) ^ 2} = \ dfrac i2 [/ math].

Answer 3

Método I

Tenemos [math] \ displaystyle \ int e ^ x \ {f (x) + f ‘(x) \} dx = e ^ xf (x) [/ math]

Aquí [matemáticas] f (x) + f ‘(x) = x \ cos x… .. (1) [/ matemáticas]

Probemos con

[matemáticas] f (x) = x (A \ sin x + B \ cos x) + C \ cos x + D \ sin x [/ matemáticas]

diferenciando

[matemáticas] f ‘(x) = x (A \ cos x -B \ sin x) + A \ sin x + B \ cos xC \ sin x + D \ cos x [/ matemáticas]

[matemáticas] = x (A \ cos x -B \ sin x) + (AC) \ sin x + (B + D) \ cos x [/ matemáticas]

[matemáticas] f (x) + f ‘(x) = (AB) x \ sin x + (A + B) x \ cos x + (B + C + D) \ cos x + (D + AC) \ sin x [ /matemáticas]

Comparando con (1)

[matemáticas] A + B = 1; AB = 0; B + C + D = 0; D-C + A = 0 [/ matemáticas]

Resolviendo esto obtenemos [matemáticas] A = B = \ dfrac 12 [/ matemáticas]; [matemáticas] C = 0 [/ matemáticas]; [matemáticas] D = – \ dfrac 12 [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] f (x) = \ dfrac x2 (\ cos x + \ sin x) – \ dfrac 12 \ sin x [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] I = \ boxed {e ^ x \ dfrac {x (\ cos x + \ sin x) – \ sin x} 2 + C} [/ math]

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Método II

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int xe ^ x \ cos x dx. = \ frac 1D xe ^ x \ cos x [/ math]

Tenemos [matemáticas] \ dfrac 1 {f (D)} xg (x) = \ left \ {x- \ dfrac {f ‘(D)} {f (D)} \ right \} \ dfrac {1} { f (D)} g (x) [/ matemáticas]

Aplicando esto

[matemáticas] I = \ left \ {x- \ dfrac {1} {D} \ right \} \ dfrac {1} {D} e ^ x \ cos x [/ math]

[matemáticas] = e ^ x \ left \ {x \ dfrac {1} {D + 1} \ cos x- \ dfrac {1} {(D + 1) ^ 2} \ cos x \ right \} [/ math ]

[matemáticas] = e ^ x \ left \ {x \ dfrac {1-D} {1-D ^ 2} \ cos x- \ dfrac {1} {D ^ 2 + 2D + 1} \ cos x \ right \ } [/matemáticas]

[matemáticas] = e ^ x \ left \ {x \ dfrac {1-D} {1 – (- 1)} \ cos x- \ dfrac {1} {- 1 + 2D + 1} \ cos x \ right \ } [/matemáticas]

[math] = \ boxed {e ^ x \ left \ {x \ dfrac {\ cos x + \ sin x} {2} – \ dfrac {\ sin x} {2} \ right \} + C} [/ math]

Answer 4

Bueno, vamos a probar este: aplique la integración por partes que obtenemos

I = x⌡e ^ xcos (x) dx -⌡e ^ xcos (x) dx …… .. obtenemos

I = (x-1) ⌡e ^ x cos (x) dx

ahora sabemos la integración de e ^ xcos (x) dx, bueno, no está bien, entonces vamos a probar eso

tomemos e ^ x como primera función y luego cos x como segunda función obtenemos

Ia = e ^ xsin (x) -⌡e ^ xsindx

Ahora suponga que Ib = ⌡e ^ xsinxdx

obtenemos Ib = -e ^ xcoss + ⌡e ^ xcos x dx y sabemos que eso es lo que pongo estas ecuaciones obtendrá la respuesta como

Ia = e ^ xsins + e ^ xcosx -I ahora en I

obtenemos

I = (x-1) {e ^ x (sinx + cosx) -I}

ahora simplificando obtenemos

I = e ^ x (sinx + cosx) / x + “C”