¿Cómo podemos adivinar si las raíces de una ecuación cúbica son positivas o negativas, fácil y muy rápido?

Answer 1

Supongamos que tenemos una ecuación cúbica [matemáticas] x ^ 3 + a_2x ^ 2 + a_1x + a_0 = 0 [/ matemáticas] y que [matemáticas] x_1, x_2, x_3 [/ matemáticas] sean sus raíces (quizás 2 de ellas sean complejas conjugado).

Observe que según el teorema de Vietta [matemáticas] x_1x_2x_3 = -a_0, x_1x_2 + x_2x_3 + x_1x_3 = a_1, x_1 + x_2 + x_3 = -a_2 [/ matemáticas]. Así:

1. [math] a_0 = 0 \ Rightarrow P (x) = x (x ^ 2 + a_2x + a_1) [/ math]. Ahora la tarea es verificar las raíces de un polinomio cuadrático que creo que puedes hacer
2. [matemáticas] a_0 \ gt 0 [/ matemáticas]. Esto significa que tenemos 3 casos: 3 raíces negativas, 1 raíz negativa y 2 raíces conjugadas complejas (como [matemáticas] (a + bi) (a-bi) = a ^ 2 + b ^ 2 \ gt 0 [/ matemáticas] , 2 raíces positivas y 1 raíz negativa.
3. [matemáticas] a_0 \ lt 0 [/ matemáticas]. Esto significa que también tenemos 3 casos: 3 raíces positivas, 1 raíz positiva y 2 raíces conjugadas complejas, 2 raíces negativas y una raíz positiva.

Para separar el caso de 3 raíces reales y 1 raíz real, puede hacer lo siguiente: [math] f ‘(x) = 3x ^ 2 + 2a_2x + a_1 [/ math]. Encuentra sus raíces. Si no hay raíces, entonces claramente tienes 1 raíz real. Si tiene raíces, entonces tiene 1 punto mínimo local y 1 punto máximo local. Si [math] f (x_ {min}) \ gt 0 \ mbox {o} f (x_ {max}) \ lt 0 [/ math] entonces también tiene 1 raíz real. De lo contrario, tiene 3 (tal vez algunos de ellos son múltiples)

Answer 2

Use la regla de signos de Descartes.

Answer 3

Compare los signos de los coeficientes iniciales y finales. Eso te dice el signo de una de las raíces (positivo si es diferente).