Cómo demostrar | z + w | > = | z | – | w |

Answer 1

Gracias por el A2A!

Caso 1: [matemáticas] z = w [/ matemáticas]

[matemáticas] | z + z | \ geq | z | – | z | [/ matemáticas]

[matemáticas] | 2z | \ geq 0 [/ matemáticas]

Como [math] | x | \ geq 0 [/ math] siempre es verdadero, el caso 1 es verdadero.

Caso 2: [matemáticas] z> w> 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] z + w \ geq zw [/ matemáticas]

[matemáticas] w \ geq -w [/ matemáticas]

[matemáticas] 2w \ geq 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] w \ geq 0 [/ matemáticas]

Como [math] (0, \, \ infty) \ subset [0, \, \ infty] [/ math], el caso 2 es verdadero.

Caso 3: [matemáticas] w> z> 0 [/ matemáticas]

(Podemos seguir los mismos pasos que en el caso [math] 2 [/ math], terminando con [math] z \ geq 0 [/ math])

El caso 3 es cierto.

Caso 4: [matemáticas] z> 0> w [/ matemáticas]

[matemáticas] | z + w | \ geq z + w [/ matemáticas]

Desde [matemática] | x | = -x [/ matemática] cuando [matemática] x <0 [/ matemática].

Esto siempre es cierto. [matemática] | z + w | = z + w [/ matemática] cuando [matemática] z + w \ geq 0 [/ matemática] y [matemática] | z + w |> z + w [/ matemática] cuando [matemática] ] z + w <0 [/ matemáticas]. Entonces el caso 4 es cierto.

Caso 5: [matemáticas] w> 0> z [/ matemáticas]

[matemáticas] | z + w | \ geq -zw [/ matemáticas]

Si [matemáticas] z + w \ geq 0 [/ matemáticas]:

[matemáticas] z + w \ geq -zw [/ matemáticas]

[matemáticas] 2z + 2w \ geq 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] z + w \ geq 0 [/ matemáticas]

Si [matemática] z + w <0 [/ matemática]:

[matemáticas] -zw \ geq -zw [/ matemáticas]

(Propiedad reflexiva de la igualdad; es verdad)

El caso 5 es cierto.

Caso 6: [matemáticas] 0> z> w [/ matemáticas]

[matemáticas] -zw \ geq wz [/ matemáticas]

[matemáticas] -w \ geq w [/ matemáticas]

Es cierto porque [math] w [/ math] es negativo.

El caso 6 es cierto.

Caso 7: [matemáticas] 0> w> z [/ matemáticas]

[matemáticas] -zw \ geq wz [/ matemáticas]

[matemáticas] -w \ geq w [/ matemáticas]

Es cierto porque [math] w [/ math] es negativo.

El caso 7 es cierto.

Probablemente la forma menos eficiente de demostrarlo, pero está comprobado.

Answer 2

La desigualdad triangular aplicada a los vectores a , b , y a + b es

El | a | + | b | > = | a + b |.

Deje a = z + w y b = – w .

La desigualdad triangular nos dice

El | z + w | + | -w | > = | z + w – w |.

Tenga en cuenta que | – w | = | w | y | z + w – w | = | z |.

La desigualdad se simplifica a

El | z + w | + | w | > = | z |. Ahora resta | w | de ambos lados para obtener la desigualdad deseada.

Answer 3

Si |. | es una norma general, podemos usar la desigualdad triangular para escribir

[matemáticas] | (z + w) + (- w) | <= | z + w | + | -w |. [/ matemáticas]

[matemáticas] Además, | -w | = | w |. [/ matemáticas]

Las dos ecuaciones implican:

[matemáticas] | z + w |> = | z | – | w |. [/ matemáticas]

Answer 4

A2A, gracias.

Por trabajo ocupado. Examine caso por caso, por ejemplo, Caso 1: [matemática] z> w> 0 [/ matemática], Caso 2: [matemática] w> z> 0 [/ matemática], Caso 3: [matemática] z> 0> w [/ matemáticas], etc.

Answer 5

Depende de lo que son z y w. Como se trata de notaciones comunes para los números complejos, supongamos que lo son. Entonces, lo que ves aquí es equivalente a decir que la suma de las longitudes de dos lados de un triángulo | z + w | + | -w | es al menos tan grande como la longitud de la tercera | z |.

Esto también funciona en una dimensión superior, donde la intuición geométrica no está tan fácilmente disponible.

Desigualdad triangular – Wikipedia

Answer 6

Para comenzar, vamos a ignorar el caso trivial cuando z o w es igual a 0. Por lo tanto,

Veamos que el valor mínimo de | z + w | sucede cuando z = -w, y claramente la desigualdad se cumple porque 0 = | z | – | -z |

Si ambos son positivos o ambos negativos, es fácil ver que | z + w | es mayor que | z | – | w |, porque el lado izquierdo será una suma que, por defensa, la resta del lado derecho será incapaz de alcanzar.

A partir de aquí, nuestra principal preocupación es cuando z y w tienen signos opuestos y | z | es mayor que | w |, de lo contrario, simplemente declararíamos que un número positivo es mayor que uno negativo, de lo cual uno puede estar bastante seguro de decir que es verdadero.

Deje z y w ser positivo y

z + (- w) = k

Entonces, debido a que la z y w originales para este caso tienen signos opuestos, podemos multiplicar la ecuación anterior por -1 y obtener eso

(-z) + w = ​​-k

Por lo tanto, solo tendríamos que demostrar

El | ± k | ≥ | z | – | w |

Pero positivo z menos positivo w es igual a k, por lo tanto, en este último caso

El | ± k | ≥ k, que es evidentemente cierto, el número total de igualdades es verdadero solo si:

z y w tienen números enteros opuestos y eso | z | ≥ | w |, o cualquier caso donde w = 0