Interesante pregunta. Para encontrar la respuesta, usaré el siguiente Lema, que probaré más adelante.
Lema: Si [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} f (x) = L [/ math] y [math] n> 0 [/ math], entonces [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} (1 + x ^ nf (x)) ^ {x ^ {- n}} = e ^ L [/ matemáticas].
Podemos reescribir el límite que necesitamos encontrar de la siguiente manera:
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ left [\ left (1 + x ^ 2 \ left (\ dfrac {\ sin (x) -x} {x ^ 3} \ right) \ right) ^ {x ^ {- 2}} \ right] ^ {\ dfrac {x ^ 3} {1- \ cos (x)}} [/ math]
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Podemos aplicar el Lema con [math] n = 2 [/ math] y [math] f (x) = \ dfrac {\ sin (x) -x} {x ^ 3} [/ math]. En este caso [math] \ lim_ {x \ to 0} f (x) = – \ dfrac {1} {6} [/ math] (que se deriva de la serie Taylor de [math] \ sin (x) [/ matemáticas]). El lema nos da:
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ left (1 + x ^ 2 \ left (\ dfrac {\ sin (x) -x} {x ^ 3} \ right) \ right) ^ {x ^ {-2}} = e ^ {- 1/6} [/ math].
Mientras tanto, también tenemos [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {x ^ 3} {1- \ cos (x)} = 0 [/ math] (esto también se deduce de la serie Taylor).
Por lo tanto, el límite es igual a [math] \ left (e ^ {- 1/6} \ right) ^ 0 = 1 [/ math]. [matemáticas] \ cuadrado [/ matemáticas]
Ahora como se prometió, la prueba del Lema . (Esta prueba es bastante técnica, así que siéntase libre de omitirla).
Deje [math] y = x ^ n [/ math]. Como [matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} y = 0 [/ matemáticas], el límite puede reescribirse como [matemáticas] \ lim_ {y \ a 0} (1 + yf (y ^ {1 / n}) ) ^ {1 / a} [/ matemáticas].
Como [matemáticas] n> 0 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] \ lim_ {y \ a 0} f (y ^ {1 / n}) = \ lim_ {x \ a 0} f (x) = L [ /matemáticas]. Por lo tanto, [math] \ lim_ {y \ to 0} yf (y ^ {1 / n}) = 0 [/ math]. Por lo tanto, [math] \ existe a \ in \ mathbb {R} [/ math] tal que si [math] | y | 0 [/ math] para que no tengamos que preocuparnos de elevar números negativos a potencias reales).
Deje que [math] \ epsilon> 0 [/ math] sea dado. Según la definición de límites, [matemática] \ existe b> 0 [/ matemática] tal que si [matemática] | y | <b [/ math], luego [math] L- \ epsilon <f (y ^ {1 / n}) <L + \ epsilon [/ math]. Por lo tanto para [matemáticas] | y | <\ min \ {a, b \} [/ math], tenemos:
[matemáticas] (1 + y (L- \ epsilon)) ^ {1 / y} <(1 + yf (y ^ {1 / n})) ^ {1 / y} <(1 + y (L + \ epsilon )) ^ {1 / a} [/ matemáticas]
Por lo tanto, tomando el límite como [math] y \ a 0 [/ math], obtenemos:
[matemáticas] e ^ {L- \ epsilon} <\ lim_ {y \ to 0} (1 + yf (y ^ {1 / n})) ^ {1 / y} <e ^ {L + \ epsilon} [ /matemáticas]
Pero podemos hacer [math] \ epsilon [/ math] tan pequeño como queramos; y tanto [math] e ^ {L- \ epsilon} [/ math] como [math] e ^ {L + \ epsilon} [/ math] enfoque [math] e ^ L [/ math] como [math] \ epsilon \ a 0 [/ matemática]. Por lo tanto, según el Teorema de compresión, [matemáticas] \ lim_ {y \ a 0} (1 + yf (y ^ {1 / n})) ^ {1 / y} = e ^ L [/ matemáticas]. [matemáticas] \ cuadrado [/ matemáticas]
