Buscando una solución a la ecuación diferencial. encontrar la trayectoria ortogonal de [math] r = a (4 * [/ math] [math] cos \ theta-sec \ theta) [/ math] la solución dada es [math] r ^ 5 = b * sin ^ 3 \ theta ( 4 * cos ^ 2 \ theta + 1) [/ math] \ newline ¿cómo funciona esto?

Answer 1

Resolver:

[matemáticas] r = a \ Big (4 \ cos (\ theta) – \ dfrac {1} {\ cos (\ theta)} \ Big) \ tag {1} [/ math]

para [matemáticas] a [/ matemáticas]:

[matemáticas] a = \ dfrac {r \ cos (\ theta)} {4 \ cos ^ 2 (\ theta) – 1} \ tag {2} [/ matemáticas]

Diferenciar ambos lados de ( 1 ) con respecto a [math] \ theta: [/ math]

[math] r _ {\ theta} ‘= -4a \ sin (\ theta) – a \ dfrac {\ sin (\ theta)} {\ cos ^ 2 (\ theta)} = \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] -a \ sin (\ theta) \ cdot \ dfrac {4 \ cos ^ 2 (\ theta) +1} {\ cos ^ 2 (\ theta)} \ tag {3} [/ matemáticas]

Reemplace [math] r _ {\ theta} ‘[/ math] en ( 3 ) con:

[matemáticas] – \ dfrac {r ^ 2} {r _ {\ theta} ‘} \ tag {4} [/ matemáticas]

para obtener:

[matemáticas] – \ dfrac {r ^ 2} {r _ {\ theta} ‘} = -a \ sin (\ theta) \ cdot \ dfrac {4 \ cos ^ 2 (\ theta) +1} {\ cos ^ 2 (\ theta)} \ tag {5} [/ math]

Sustituya [math] a [/ math] en ( 5 ) de ( 2 ) y expanda la definición de [math] r _ {\ theta} ‘[/ math] (como dee arr over dee thaitah):

[matemáticas] r ^ 2 = \ dfrac {dr} {d \ theta} \ cdot r \ cdot \ dfrac {\ cos (\ theta)} {4 \ cos ^ 2 (\ theta) – 1} \ cdot \ sin ( \ theta) \ cdot \ dfrac {4 \ cos ^ 2 (\ theta) +1} {\ cos ^ 2 (\ theta)} \ tag {6} [/ math]

Separe las variables en ( 6 ) en preparación para la integración:

[matemáticas] \ dfrac {dr} {r} = \ dfrac {\ cos (\ theta)} {\ sin (\ theta)} \ cdot \ dfrac {4 \ cos ^ 2 (\ theta) -1} {4 \ cos ^ 2 (\ theta) +1} d \ theta \ tag {7} [/ math]

Integrar.

La integral del lado izquierdo de ( 7 ) es:

[matemáticas] \ ln (r) + C_r, \; C_r = \ text {const} \ tag {8} [/ math]

Por experiencia, después de resolver algunos problemas similares en los que ambos lados de ( 7 ) tienen la misma forma de:

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ dfrac {dt} {t} \ tag * {} [/ matemáticas]

sospechamos que el lado derecho de ( 7 ) debe ser plegable en tal forma.

De hecho, multiplique ambos lados de la fracción del integrando del lado derecho en ( 7 ) por:

[matemáticas] \ dfrac {\ sin ^ 2 (\ theta)} {\ sin ^ 2 (\ theta)} \ tag * {} [/ matemáticas]

para obtener:

[matemáticas] \ dfrac {\ sin ^ 2 (\ theta) \ cos (\ theta)} {\ sin ^ 3 (\ theta)} \ cdot \ dfrac {4 \ cos ^ 2 (\ theta) -1} {4 \ cos ^ 2 (\ theta) +1} d \ theta \ tag {9} [/ math]

Entonces, la corazonada es que la parte inferior es ‘[math] t [/ math]’ y la parte superior es su diferencial.

Verifique (dee sobre [math] \ theta [/ math]):

[matemática] d \ Big (\ sin ^ 3 (\ theta) \ Big (4 \ cos ^ 2 (\ theta) +1 \ Big) \ Big) = \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] 3 \ sin ^ 2 (\ theta) \ cos (\ theta) 4 \ cos ^ 2 (\ theta) – \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ sin ^ 3 (\ theta) \ cdot 4 \ cdot 2 \ cdot \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) + \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 \ sin ^ 2 (\ theta) \ cos (\ theta) \ tag {10} [/ matemáticas]

La razón por la que he factorizado [math] 8 [/ math] como [math] 4 \ cdot 2 [/ math] es porque queremos el factor de [math] 4 \ cos ^ 2 (\ theta) [/ math] ser altamente visible

En la tercera línea en ( 10 ) factor [math] \ sin ^ 3 (\ theta) \ sin (\ theta) [/ math] como [math] \ sin ^ 2 (\ theta) \ sin ^ 2 (\ theta) [/ math] y luego sustituir [math] \ sin ^ 2 (\ theta) [/ math], te dejaré decidir cuál, con [math] 1 – \ cos ^ 2 (\ theta) [/ math] :

[matemáticas] 3 \ sin ^ 2 (\ theta) \ cos (\ theta) 4 \ cos ^ 2 (\ theta) – \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] – 8 \ sin ^ 2 (\ theta) \ cos (\ theta) + \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 \ sin ^ 2 (\ theta) \ cos (\ theta) 4 \ cos ^ 2 (\ theta) + \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 \ sin ^ 2 (\ theta) \ cos (\ theta) \ tag {11} [/ matemáticas]

Observe que en ( 11 ) ahora tenemos dos pares de términos similares, es por eso que queríamos factorizar [matemática] 8 [/ matemática] de la manera que lo hicimos.

Ahora, después de factorizar el término común [matemática] 5 \ sin ^ 2 (\ theta) \ cos (\ theta) [/ matemática], el diferencial se convierte en:

[matemáticas] 5 \ sin ^ 2 (\ theta) \ cos (\ theta) \ Big (4 \ cos ^ 2 (\ theta) – 1 \ Big) \ tag * {} [/ matemáticas]

que coincide con la parte superior del integrando en el módulo ( 9 ) el factor de [math] 5 [/ math] exactamente.

Por lo tanto:

[matemáticas] \ ln (r) + C_r = \ dfrac {1} {5} \ ln \ Big (\ sin ^ 3 (\ theta) \ Big (4 \ cos ^ 2 (\ theta) +1 \ Big) \ Big) + C _ {\ theta} \ tag * {} [/ math]

donde [math] C _ {\ theta} = \ text {const} [/ math].

Lleve el [math] C_r [/ math] y dóblelo y [math] C _ {\ theta} [/ math] en una constante [math] b [/ math] tal que:

[matemáticas] b = e ^ {5 \ Big (C _ {\ theta} – C_r \ Big)} \ tag * {} [/ math]

y:

[matemáticas] \ ln (r) = \ dfrac {1} {5} \ ln \ Big (\ sin ^ 3 (\ theta) \ Big (4 \ cos ^ 2 (\ theta) +1 \ Big) \ Big) + \ dfrac {1} {5} \ ln \ Big (e ^ {5 \ Big (C _ {\ theta} – C_r \ Big)} \ Big) \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] 5 \ ln (r) = \ ln (r ^ 5) = \ ln \ Big (b \ cdot \ sin ^ 3 (\ theta) \ Big (4 \ cos ^ 2 (\ theta) +1 \ Big ) \ Big) \ tag * {} [/ math]

Por lo tanto, la ecuación de la familia de las curvas ortogonales a ( 1 ) es:

[matemáticas] r ^ 5 = b \ cdot \ sin ^ 3 (\ theta) \ Big (4 \ cos ^ 2 (\ theta) +1 \ Big) \ tag * {} [/ math]