¿Sería correcto decir que y = x ^ 2 + 4 y que y = x ^ 2 + 3 son paralelos ya que satisfacen la condición de no intersectarse?

Answer 1

No.

El uso de la palabra paralelo generalmente se refiere a líneas en un plano euclidiano o, por decirlo simplemente, líneas rectas en un plano plano. Si bien existen curvas paralelas (al menos en algunas áreas de las matemáticas), estas dos parábolas no son paralelas.

Primero, es importante tener en cuenta que el paralelo se define para algo más que el hecho de que las dos líneas no se cruzan; encontrará la mayoría de las definiciones en líneas paralelas que también incluyen lo siguiente (de Dictionary.com): “Extendiéndose en la misma dirección, equidistante en todos los puntos y nunca convergiendo o divergiendo”

Si bien las parábolas se extienden hasta el infinito, pueden converger entre sí, no lo he comprobado ni estoy seguro de que mi definición sea 100% precisa en tal caso. Solo miraré el segundo caso para demostrar que estas dos parábolas no son paralelas.

Primero, usaré la definición de curvas paralelas de Wolfram Mathworld : “Las curvas paralelas, frecuentemente llamadas ‘curvas de desplazamiento’ en aplicaciones de gráficos por computadora, son curvas que se desplazan de una curva base por un desplazamiento constante, ya sea positivo o negativo, en el dirección de la curva normal “. Es decir, para que dos curvas sean paralelas, la distancia perpendicular entre ellas debe ser constante. Los círculos concéntricos, por ejemplo, son curvas paralelas. Para estas dos parábolas, solo la distancia vertical entre ellas es constante (ya que son la misma curva, pero desplazadas verticalmente).

Con más detalle y como prueba de la última afirmación, estas dos parábolas no están a distancias constantes entre sí en la dirección normal :

En el punto (0, 3) la parábola inferior de la pendiente (y = x ^ 2 + 3) es 0, y está a una unidad de la parábola superior en la dirección normal, que es una línea vertical.

En el punto (1, 4) la pendiente de la parábola inferior es 2 (y ‘= 2x, y’ (1) = 2), por lo que una línea perpendicular que cruza ese punto sería y – 4 = -0.5 * (x – 1), o y = -0.5 * (x – 1) + 4. Esta línea cruzará la parábola más alta (y = x ^ 2 + 4) en:

x ^ 2 + 4 = -0.5 * (x – 1) + 4

x ^ 2 = -0.5 * (x – 1)

2 (x ^ 2) + x – 1 = 0

(2x-1) (x + 1) = 0

x = 0.5, -1

Nuestro progreso hasta ahora se puede ver en este gráfico:

La línea se cruzará primero a 0.5, entonces -1 es una solución extraña. La distancia normal entre la parábola inferior en (1, 4) y la parábola superior en el punto de (0.5, x ^ 2 + 4), o (0.5, 4.25) se encuentra de la siguiente manera:

d = sqrt ((1–0.5) ^ 2 + (4–4.25) ^ 2)

d = sqrt (0.5 ^ 2 + (-0.25) ^ 2)

d = sqrt (0.25 + 0.0625)

d = sqrt (0.3125)

d ~ = 0.599, que obviamente no es igual a 1

Por lo tanto, estas dos curvas no permanecen a una distancia constante entre sí y, por lo tanto, no son paralelas.

Por último, otra fuente de “Dr. Matemáticas “de los foros de matemáticas (http://mathforum.org/library/drm…):
“ Las gráficas de, digamos, y = x ^ 2 e y = x ^ 2 + 4 NO son curvas paralelas, porque la ‘distancia’ constante de 4 se mide verticalmente, no perpendicular a ninguna de las curvas. ”

Answer 2

No estoy seguro de que lo sea, pero otros podrían estar en desacuerdo.

Primero, solo porque dos líneas no se cruzan, eso no significa que sean paralelas.

En este caso específico, las dos líneas son idénticas pero una es 1 unidad más alta en el eje vertical. Si mide en paralelo al eje, siempre están separados por “1”. Pero, creo que normalmente debería considerar la distancia más corta entre las dos líneas: en una línea recta, esto sería perpendicular a la fuente y al objetivo, pero en estas líneas curvas, ese no es el caso. Pero con esa medida, las líneas se acercarán mucho más para los valores de | x | a medida que aumentan.