Cómo resolver esto: ‘[matemáticas] a + \ frac {1} {a} \ le2 \\ [/ matemáticas]’ sin usar la intuición

Answer 1

Sin intuición? ¿Quieres decir, lógicamente? ¡Bueno!

Si [matemática] a <0 [/ matemática], entonces la desigualdad es obvia, ya que [matemática] a + \ frac1a <0 \ leq 2 [/ matemática].

No podemos permitir [matemáticas] a = 0 [/ matemáticas] (¿por qué?).

La única opción restante es [matemática] a> 0 [/ matemática], así que supongamos que. Sabemos que [math] a + \ frac1a \ leq 2 [/ math]. Multiplicamos ambos lados de esta desigualdad por la cantidad positiva [math] a [/ math]. Obtenemos [matemáticas] a ^ 2 + 1 \ leq 2a [/ matemáticas]. Simplificamos esta desigualdad a [matemáticas] a ^ 2-2a + 1 \ leq 0 [/ matemáticas], o [matemáticas] (a-1) ^ 2 \ leq 0 [/ matemáticas]. Ahora [math] (a-1) ^ 2 [/ math] no es negativo para todos los valores de [math] a [/ math], ya que es un cuadrado. La expresión [math] (a-1) ^ 2 [/ math] es cero solo cuando [math] a = 1 [/ math]. Entonces, si [matemática] a [/ matemática] es positiva, entonces solo [matemática] a = 1 [/ matemática] satisface [matemática] a + \ frac1a \ leq 2 [/ matemática].

Por lo tanto, la solución final de la desigualdad [matemática] a + \ frac1a \ leq 2 [/ matemática] es [matemática] a <0 [/ matemática] o [matemática] a = 1 [/ matemática]. Y llegué a esta solución usando 100% de lógica y 0% de intuición.

Answer 2

A2A: Me llamó la atención que la pregunta más interesante es “¿Cuál es la intuición que resuelve este problema?” Así es como lo resolví intuitivamente:

Podemos descartar los casos [math] a \ le 0 [/ math]. Si sustituye [math] a = 1 / b [/ math], verá que la expresión en [math] a [/ math] tiene una simetría de inversión para el parámetro [math] a [/ math]. Por lo tanto, en [math] a = 1 [/ math], donde su inverso es el mismo, debe tener un valor extremo que sea 2. Además, claramente puede ser mayor que 2, por lo que es un mínimo.

Ahora me pregunto si el interlocutor tenía una solución intuitiva y, de ser así, cuál podría haber sido.

Answer 3

Sabemos que [math] a \ neq 0 [/ math]. Por lo tanto, tenemos dos casos, [matemática] a> 0 [/ matemática] y [matemática] a <0 [/ matemática].

Caso 1: [matemáticas] a> 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] a + \ frac1a \ leq 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ iff a ^ 2 + 1 \ leq 2a [/ matemáticas]

[matemáticas] \ iff a ^ 2 – 2a + 1 \ leq 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ iff (a – 1) ^ 2 \ leq 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ iff a = 1 [/ matemáticas]

Caso 2: [matemáticas] a <0 [/ matemáticas]

[matemáticas] a + \ frac1a \ leq 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ iff a ^ 2 + 1 \ geq 2a [/ matemáticas]

[matemáticas] \ iff (a – 1) ^ 2 \ geq 0 [/ matemáticas]

lo cual siempre es cierto.

Por lo tanto, el conjunto de soluciones es [math] \ mathcal {S} = (- \ infty, 0) \ cup \ {1 \} [/ math].

Answer 4

Gracias por el A2A!

Caso [matemáticas] 1 [/ matemáticas]: [matemáticas] a <0 [/ matemáticas]

Multiplicando ambos lados por [matemáticas] a [/ matemáticas] y volteando el signo ([matemáticas] a [/ matemáticas] es negativo):

[matemáticas] a ^ 2 + 1 \ geq 2a [/ matemáticas]

Restando [matemática] 2a [/ matemática] de ambos lados:

[matemáticas] a ^ 2-2a + 1 \ geq 0 [/ matemáticas]

Factorización:

[matemáticas] (a-1) ^ 2 \ geq 0 [/ matemáticas]

Esto siempre es cierto.

Caso [matemáticas] 2 [/ matemáticas]: [matemáticas] a> 0 [/ matemáticas]

Multiplicar ambos lados por [matemáticas] a [/ matemáticas]:

[matemáticas] a ^ 2 + 1 \ leq 2a [/ matemáticas]

Restando [matemática] 2a [/ matemática] de ambos lados:

[matemáticas] a ^ 2-2a + 1 \ leq 0 [/ matemáticas]

Factorización:

[matemáticas] (a-1) ^ 2 \ leq 0 [/ matemáticas]

Esto solo es cierto si [math] a = 1 [/ math]:

Entonces:

[matemáticas] a \ in (- \ infty, \, 0) \ cup \ {1 \} [/ matemáticas]

Answer 5

Esperar que la intuición signifique mirar la ecuación y decir que la respuesta es algo, porque así es como me enseñaron a hacerlo.

mover 2 y convertirlo en una sola fracción

(a ^ 2–2a + 1) / a≤0

[(a-1) ^ 2] / a ≤0

Voy a dividir esta desigualdad en

[(a-1) ^ 2] / a <0 o [(a-1) ^ 2] / a = 0

Resuelva la ecuación a la derecha para tener a = 1

Algunos conocimientos previos,

<0 implica que el número es negativo. Para cualquier fracción dada, el numerador y el denominador deben tener lados opuestos para ser negativos.

Por ejemplo: -1/2 <0, 1 / -2 <0, 1/2> 0, -1 / -2> 0

Por lo tanto, para la ecuación izquierda,

Como (a-1) ^ 2 tiene que ser positivo, a <0.

Por lo tanto, la solución es a <0 o a = 1

Answer 6

Las desigualdades tienden a ser más comprensibles cuando uno de los lados es cero. Considerar

[matemáticas] \ begin {align} a + \ frac {1} {a} & \ leq 2 \\ a + \ frac {1} {a} -2 & \ leq 0 \\ \ frac {a ^ {2} -2a +1} {a} & \ leq 0 \\ \ frac {(a-1) ^ {2}} {a} & \ leq 0 \ tag 1 \ end {align} [/ math]

Ahora desde (1) podemos ver que como el numerador del lado izquierdo solo puede ser positivo o [matemático] 0 [/ matemático] (cuando [matemático] a = 1 [/ matemático]) entonces el signo de la izquierda el lado de la mano está determinado por el signo del denominador. En consecuencia, cuando [matemática] a <0 [/ matemática] el lado izquierdo es negativo. Por lo tanto, la desigualdad original se satisface con [matemáticas] a = 1 [/ matemáticas] o [matemáticas] a <0 [/ matemáticas].

Answer 7

Bueno con álgebra:

[matemáticas] a + \ frac {1} {a} \ le 2 \ mid \ times a [/ math]

[matemáticas] a ^ 2 + 1 \ le 2a \ mediados de -2a [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2-2a + 1 \ le 0 \ mid \ text {transformar, recordar la forma binomal} [/ matemáticas]

[matemáticas] (a-1) ^ 2 \ le 0 \ mid \ sqrt {} [/ matemáticas]

[matemáticas] a-1 \ le \ pm 0 \ mediados +1 [/ matemáticas]

[matemáticas] a \ le 1 [/ matemáticas]

Ahora [math] a = 0 [/ math] no es una solución válida y si [math] 0 \ lt a \ lt 1 [/ math] que [math] a + \ frac {1} {a} \ gt 2 [/ matemáticas]. Así que tenemos que excluirlos, esto hace la solución final: [matemáticas] \ boxed {a \ lt 0 \ lor a = 1} [/ matemáticas] pero no sé cómo llegar a esta conclusión sin usar alguna intuición.

Answer 8

Multiplique por el LCD y reorganice todo al LHS que se convierte en

a ^ 2 – 2a + 1

Factorizar:

(a-1) (a-1)

Entonces a = 1 es una solución. Dibuje el gráfico y observará que, dado que la cuadrática es un cuadrado perfecto, la función f (a) nunca es menor que cero y solo tiene una raíz en a = 1:

Entonces la única solución es a = 1

Answer 9

A2A, gracias.

No sé cómo resolver nada sin usar la intuición.

Con la intuición, sin embargo, estamos buscando los ceros de la función [matemáticas] f (a) = a + (1 / a) – 2 [/ matemáticas]. Estos ceros son los mismos que los ceros del polinomio cuadrático [math] af (a) [/ math].

Answer 10

Answer 11

(a² + 1) / a-2≤0

(a² + 1–2a) / a≤0

(a-1) ² / a ≤ 0.

DIAGRAMA DE FIRMAS:

(-) … 0 … (+) … 1 … (+)

~~~ ∞ ~~~ 0 ~~~

Solución:

a <0 & a = 1