¿Por qué los puntos se intercambian cuando se reflejan a través de la línea y = x?

Answer 1

Gran pregunta! Esbocemos una prueba. Primero, observemos que la distancia perpendicular desde la línea a cualquier punto [matemática] P (a, b) [/ matemática] es igual a la distancia perpendicular desde [matemática] P ‘[/ matemática] (su reflexión) a la línea . Esta distancia es la longitud de [matemática] Q [/ matemática] a [matemática] P [/ matemática]. También sabemos que Q está en una línea perpendicular a [math] y = x [/ math], y que pasa por [math] P [/ math]. Si encontramos [matemáticas] Q [/ matemáticas], y lo compensamos por la distancia de [matemáticas] P [/ matemáticas] a [matemáticas] Q [/ matemáticas] en la dirección opuesta, entonces llegaríamos a [matemáticas] P ‘[/matemáticas]. Nuestro objetivo es mostrar que para cualquier [matemática] P (a, b) [/ matemática], tenemos [matemática] P ‘(b, a) [/ matemática]. Empecemos.

[matemáticas] \ text {1. Encuentre la ecuación de la línea negra} \\\ begin {align} yb = – (xa) \\ y = -x + a + b \ tag * {} \ end {align} \\ [/ math]

[matemáticas] \ text {2. Encuentre Q} \\\ begin {align} x = -x + a + b \\ 2x = a + b \\ x = \ frac {a + b} {2} \\ Q \ left (\ frac {a + b} {2}, \ frac {a + b} {2} \ right) \ tag * {} \ end {align} \\ [/ math]

[matemáticas] \ text {3. Encuentre QP} \\\ begin {align} QP_x = a- \ frac {a + b} {2} = \ frac {ab} {2} \\ QP_y = b- \ frac {a + b} {2} = – \ frac {ba} {2} \ tag * {} \ end {align} \\ [/ math]

[matemáticas] \ text {4. Encuentre P ‘} \\\ begin {align} P’_x = Q_x-QP_x = \ frac {a + b} {2} – \ frac {ab} {2} = b \\ P’_y = Q_y + QP_y = \ frac {a + b} {2} – \ frac {ba} {2} = a \ tag * {} \ end {align} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align} \ boxed {\ bbox [# dff, 8px] {\ por lo tanto P ‘(b, a)}} \ tag * {} \ end {align} [/ math]

Answer 2

Pensemos en la reflexión sobre la línea general, [math] ax + by = c. [/ Math]

La reflexión a través de una línea es como doblar el papel cuadriculado a lo largo de la línea y ver qué puntos se presionan juntos, haciendo coincidir.

Digamos que los puntos [matemática] (e, f) [/ matemática] y [matemática] (g, h) [/ matemática] se unen mediante el proceso de plegado. Entonces estos puntos deben haber comenzado a una distancia igual de cada punto en el pliegue. Esa es realmente la razón por la que el pliegue es una línea: es el conjunto de puntos equidistantes de cualquiera de los dos puntos unidos, la bisectriz perpendicular.

Aquí tenemos dos puntos a la misma distancia de una línea. Si conectamos los puntos, la línea es la bisectriz perpendicular del nuevo segmento. Entonces, el punto medio entre ellos [matemática] (k, l) = \ left (\ dfrac {e + g} 2, \ dfrac {f + h} 2 \ right) [/ math] debe estar en la línea [math] ax + por = c. [/ matemáticas]

[matemáticas] ak + bl = c [/ matemáticas]

Si se nos da [matemáticas] (e, f) [/ matemáticas] y la línea, encontramos el punto más cercano en la línea [matemáticas] (k, l) [/ matemáticas], notando que la línea de [matemáticas] (k, l) [/ math] a [math] (e, f) [/ math] es perpendicular a [math] ax + by = c. [/ math]

Los perpendiculares son de la forma [math] bx-ay = d [/ math] por lo que el uno a [math] (e, f) [/ math] es

[matemáticas] bx-ay = be-af [/ matemáticas]

Eso se cruza [matemáticas] (k, l) [/ matemáticas] también:

[matemáticas] bk-al = be-af [/ matemáticas]

[matemáticas] al = bk + af -be [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2k + abl = ac [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2k + b ^ 2k + abf -b ^ 2e = ac [/ matemáticas]

[matemáticas] k = \ dfrac {ac + b ^ 2 e – abf} {a ^ 2 + b ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] abk + b ^ 2l = bc [/ matemáticas]

[matemáticas] a (al + be-af) + b ^ 2l = bc [/ matemáticas]

[matemáticas] l = \ dfrac {bc + a ^ 2f – abe} {a ^ 2 + b ^ 2} [/ matemáticas]

Estamos realmente detrás de [matemáticas] (g, h) [/ matemáticas]

[matemáticas] k = (e + g) / 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] g = 2k-e = \ dfrac {2a (c-bf) + e (b ^ 2-a ^ 2)} {a ^ 2 + b ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] h = 2l-f = \ dfrac {2b (c – ae) + f (a ^ 2-b ^ 2)} {a ^ 2 + b ^ 2} [/ matemáticas]

Si no hemos cometido ningún error, esa es la fórmula para encontrar [math] (g, h) [/ math], el reflejo de [math] (e, f) [/ math] a través de [math] ax + by = c. [/ matemáticas]

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Veamos qué sucede con la línea [matemáticas] y = x, [/ matemáticas] que es [matemáticas] xy = 0, a = 1, b = -1, c = 0. [/ Matemáticas]

[matemáticas] g = \ dfrac {2 (1) (0 – (-1) f) + e ((- 1) ^ 2 – 1 ^ 2)} {2} = f [/ matemáticas]

[matemáticas] h = \ dfrac {2 (-1) (0 – (1) e) + f (1 ^ 2 – (- 1) ^ 2)} {2} = e [/ matemáticas]

No puedo creer que funcionó!

Para responder a la pregunta, encontramos que la imagen de [matemáticas] (e, f) [/ matemáticas] bajo reflexión a través de [matemáticas] y = x [/ matemáticas] es [matemáticas] (f, e). [/ Matemáticas] ¿Por qué? ? Debido a que [math] (f, e) [/ math] es el único punto que forma el segmento de línea con [math] (e, f) [/ math] que está perpendicularmente dividido por [math] y = x. [/ Math ] Eso es lo que es la reflexión.