¿Cómo podemos encontrar todas esas [matemáticas] n [/ matemáticas] para que [matemáticas] \ dfrac {123… n} {1 + 2 + 3 +… + n} [/ matemáticas] sea un número entero?

Answer 1

Ok, la fracción [math] \ frac {123 \ ldots n} {1 + 2 + 3 + \ ldots + n} [/ math] tiene la fórmula [math] \ frac {\ sum \ limits_ {m = 0} ^ { n-1} 10 ^ m × (nm)} {\ sum \ limits_ {m = 1} ^ {n} m} = \ frac {\ frac {10 ^ {n + 1} -9n-10} {81} } {\ frac {n ^ 2 + n} {2}} = \ frac {10 ^ {n + 1} -9n-10} {81} × \ frac {2} {n ^ 2 + n} = \ frac {2 ^ {n + 2} × 5 ^ {n + 1} -18n-20} {81n ^ 2 + 81n} = \ frac {2 × 10 ^ {n + 1} -18n-20} {81n ^ 2 + 81n} [/ math] por lo que necesitamos encontrar todo n donde haya una k natural tal que [math] k × (2 × 10 ^ {n + 1} -18n-20) = 81n ^ 2 + 81n [/ matemáticas].
Ahora si no tengo idea de cómo encontrar todos los elementos de su conjunto, pero he probado ns 1 a 1000 y obtuve 5 resultados: 1, 2, 5, 110, 242.

  def f (n):
    z = [(2 * (10 ** (n + 1))) - 18 * n-20, 81 * (n ** 2 + n)]
    g = math.gcd (z [0], z [1])
    devuelve z [0] // g, z [1] // g

 para i en rango (1, 1000):
     frac = f (i)
     si frac [1] == 1:
           imprimir (i, frac [0])

Es el método que utilicé para buscar, pero sospecho que este conjunto es infinito porque [matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {2 × 10 ^ {n + 1} -18n-20} {81n ^ 2 + 81n} = \ infty [/ math].
Bueno, gracias a Python y wolframalpha.com, creo.

Actualización: he reescrito

[matemáticas] 2 ^ {n + 2} × 5 ^ {n + 1} [/ matemáticas] como [matemáticas] 2 \ veces 10 ^ {n + 1} [/ matemáticas] porque es más fácil de calcular (para los humanos de todos modos )

Actualización Actualización: Como Duy Do señaló, mi forumla no es válido para [math] n \ gt 9 [/ math]. Si bien creo que hay que arreglar la función de suma con [math] \ log_ {10} [/ math] y ceil y / o floor en el componente decenas, no lo he encontrado. Acabo de modificar mi código Python:

  def fr (n):
     z = [int ("". join ([str (i) para i en el rango (1, n + 1)])), (n * (n + 1)) // 2]
     g = math.gcd (z [0], z [1])
     devuelve z [0] // g, z [1] // g

 para i en rango (1, 10 ** 4):
     frac = fr (i)
     si frac [1] == 1:
         imprimir (i, frac [0])

Los únicos resultados de este código de revisión son [matemática] (1, 1), (2,4) [/ matemática] y [matemática] (5, 823) [/ matemática].

Como Graeme McRae señaló de acuerdo con A072725 – OEIS, estas 3 son las únicas 3 soluciones.

Answer 2

¡Qué pregunta tan extraña! El numerador es bastante extraño.

Ni siquiera está claro para mí cómo demostrar que debería haber una lista finita de tales n, a pesar de que la heurística lo sugiere (la “probabilidad” para cada n es aproximadamente 2 / n ^ 2, y la suma de estos es convergente )

Supongo que no estaría de más hacer algunos experimentos numéricos para obtener una lista parcial. Hacer un ejercicio de codificación no del todo trivial para un n grande.

Answer 3

Escriba un programa de computadora simple y encuentre las soluciones fáciles.

Si n <= 9

n = 1, 2, 5, entonces el número entero es 1, 4, 823