Gracias por el A2A!
Hay muchos caminos en los que puedo pensar para resolver este problema. Este es uno de ellos.
[matemáticas] {\ displaystyle \ int} \ sin ^ 3 \ left (x \ right) \ cos ^ 2 \ left (x \ right) \, dx [/ math]
Como [math] \ sin ^ 3 \ left (x \ right) = \ sin ^ 2 \ left (x \ right) \ sin \ left (x \ right) [/ math], reescribimos la ecuación como [math] { \ displaystyle \ int} \ sin ^ 2 \ left (x \ right) \ sin \ left (x \ right) \ cos ^ 2 \ left (x \ right) \, dx [/ math]
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Como [math] \ sin ^ 2 \ left (x \ right) = 1- \ cos ^ 2 \ left (x \ right) [/ math], nuevamente reescribimos la ecuación como: [math] {\ displaystyle \ int} \ left (1- \ cos ^ 2 \ left (x \ right) \ right) \ sin \ left (x \ right) \ cos ^ 2 \ left (x \ right) \, dx \ Rightarrow – {\ displaystyle \ int } \ cos ^ 2 \ left (x \ right) \ left (\ cos ^ 2 \ left (x \ right) -1 \ right) \ sin \ left (x \ right) \, dx [/ math]
Resolvamos por: [matemáticas] {\ displaystyle \ int} \ cos ^ 2 \ left (x \ right) \ left (\ cos ^ 2 \ left (x \ right) -1 \ right) \ sin \ left (x \ right) \, dx [/ math]
Sustituir: [matemáticas] u = \ cos \ left (x \ right) \ longrightarrow \, dx = – \ dfrac {1} {\ sin \ left (x \ right)} \, du [/ math]
[matemáticas] – {\ displaystyle \ int} u ^ 2 \ left (1-u ^ 2 \ right) \, du [/ math]
Ahora resolviendo para: [matemáticas] {\ displaystyle \ int} u ^ 2 \ left (1-u ^ 2 \ right) \, du [/ math]
Expandir: [matemáticas] = {\ displaystyle \ int} \ left (u ^ 4-u ^ 2 \ right) \, du \ Rightarrow {\ displaystyle \ int} u ^ 4 \, du – {\ displaystyle \ int} u ^ 2 \, du [/ matemáticas]
Ahora resolviendo: [matemáticas] {\ displaystyle \ int} u ^ 4 \, du [/ matemáticas]
Aplique la regla de potencia: [matemáticas] \ displaystyle \ int x ^ adx = \ frac {x ^ {a + 1}} {a + 1}, \: \ quad \: a \ ne -1 = \ dfrac {u ^ {4 + 1}} {4 + 1} = \ dfrac {u ^ 5} {5} [/ math]
Ahora resolviendo: [matemáticas] {\ displaystyle \ int} u ^ 2 \, du [/ matemáticas]
Nuevamente aplique la regla de poder como se indicó anteriormente, así que ahora tenemos [math] = \ dfrac {u ^ 3} {3} [/ math]
Entonces [matemáticas] {\ displaystyle \ int} \ left (u ^ 4-u ^ 2 \ right) \, du \ Rightarrow {\ displaystyle \ int} u ^ 4 \, du – {\ displaystyle \ int} u ^ 2 \, du = \ dfrac {u ^ 5} {5} – \ dfrac {u ^ 3} {3} [/ math]
Conecte las integrales resueltas: [matemática] \: – {\ displaystyle \ int} u ^ 2 \ left (u ^ 2-1 \ right) \, du = \ dfrac {u ^ 3} {3} – \ dfrac {u ^ 5} {5} [/ matemáticas]
Deshacer la sustitución de [matemáticas] u = \ cos \ left (x \ right): \: = \ dfrac {\ cos ^ 3 \ left (x \ right)} {3} – \ dfrac {\ cos ^ 5 \ left ( x \ right)} {5} [/ math]
Enchufe las integrales resueltas: – [matemática] {\ displaystyle \ int} \ cos ^ 2 \ left (x \ right) \ left (\ cos ^ 2 \ left (x \ right) -1 \ right) \ sin \ left ( x \ right) \, dx = \ dfrac {\ cos ^ 5 \ left (x \ right)} {5} – \ dfrac {\ cos ^ 3 \ left (x \ right)} {3} [/ math]
¡Y eso es! Solo agrega la constante.
[matemáticas] \ por lo tanto {\ displaystyle \ int} \ sin ^ 3 \ left (x \ right) \ cos ^ 2 \ left (x \ right) \, dx = \ dfrac {\ cos ^ 5 \ left (x \ right )} {5} – \ dfrac {\ cos ^ 3 \ left (x \ right)} {3} + C [/ math]
