¿Es cierto que la regla de poder se vuelve inexacta con poderes muy altos, por ejemplo, [matemática] \ frac {d} {dx} x ^ {999999999} = 999999999x ^ {999999998} [/ matemática]?

Answer 1

No.

El término “inexacto “ implica que hay algún tipo de “error de medición” aquí, que la regla de potencia está “lo suficientemente cerca” para los exponentes pequeños, pero se aleja más de la derivada “real” a medida que los exponentes se hacen más grandes.

Esto no es cierto. La regla de potencia es un teorema , un hecho matemático que se ha demostrado que es cierto en función de nuestros axiomas de límites, diferenciación y aritmética. Dos buenas pruebas se pueden encontrar aquí. Cuando se demuestra que la regla de potencia es verdadera, sabemos que es verdadera y exacta para todos los exponentes reales de [math] x [/ math]. La regla de poder nunca está “lo suficientemente cerca”; es la derivada real. Entonces sabemos que la derivada de [matemáticas] x ^ {999999999} [/ matemáticas] es exactamente [matemáticas] 999999999x ^ {999999998} [/ matemáticas].

Answer 2

Lo divertido de las matemáticas es que, a diferencia del mundo real, hay muchos absolutos.

[matemáticas] f (x) = x ^ {n} [/ matemáticas]

[matemáticas] ln (f (x)) = ln (x ^ {n}) [/ matemáticas]

[matemáticas] ln (f (x)) = n * ln (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {d} {dx} (ln (f (x))) = \ frac {d} {dx} (n * ln (x)) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {f (x)} * f ‘(x) = n * \ frac {1} {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(x) = f (x) * n * \ frac {1} {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(x) = x ^ {n} * n * \ frac {1} {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(x) = n * \ frac {x ^ {n}} {x ^ {1}} [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(x) = n * x ^ {n – 1} [/ matemáticas]

Arriba está la prueba (rigurosa, no negociable, inflexible) de que la regla de potencia da la derivada de las funciones de potencia para todos los números reales n con precisión absoluta y perfecta, independientemente de cuán grande sea n. (La estipulación sobre números reales proviene del uso de la función de registro natural. Hasta donde yo sé, la regla de potencia en alguna forma funciona para funciones complejas, pero la prueba es un poco más complicada que esto).

Answer 3

Respuesta corta: no

Respuesta larga: No, porque la prueba se realiza para [math] n \ in \ mathrm {N} [/ math]

Hagamos una prueba rápida de esta “regla”:

[matemáticas] (x ^ n) ‘= \ lim_ {h \ rightarrow 0} \ frac {(x + h) ^ nx ^ n} {h} [/ matemáticas]

Debido al teorema binomial de Newton, sabemos lo siguiente:

[matemáticas] (a + b) ^ n = \ sum_ {i = 0} ^ n \ binom {n} {i} a ^ {ni} b ^ i [/ matemáticas]

Lo que significa que podemos reescribir lo que teníamos de la siguiente manera:

[matemáticas] (x ^ n) ‘= \ lim_ {h \ rightarrow 0} \ frac {\ sum_ {i = 1} ^ n \ binom {n} {i} x ^ {ni} h ^ i} {h} [/matemáticas]

Y sabemos que es lo mismo:

[matemáticas] (x ^ n) ‘= \ lim_ {h \ rightarrow 0} nx ^ {n-1} + \ sum_ {i = 2} ^ n \ binom {n} {i} x ^ {ni} h ^ {i-1} = nx ^ {n-1} [/ matemáticas]

Ahí está, la prueba puede extenderse para [math] n \ in \ mathrm {R} [/ math], pero no es necesario para responder la pregunta.

Answer 4

Si y no. Dejame explicar. La regla de potencia siempre es correcta, ya que la derivada de [matemáticas] x ^ 999999999 = 999999999x ^ 999999998 [/ matemáticas]

Pero [matemáticas] f (x + dx) – f (x) = 999999999x ^ 999999998 dx + (999999999 elige 2) * x ^ 999999997 * dx ^ 2 + [/ matemáticas] bla, bla, bla.

Entonces el error es enorme, especialmente si x es pequeño. Sin embargo, la derivada siempre será correcta, ya que el límite a medida que dx llega a cero eventualmente, finalmente, eliminará ese factor.

La regla de poder es una regla y siempre funciona. Es absoluto. Pero el límite converge lentamente para obtener poderes increíblemente altos.

Answer 5

No, no es verdad. La regla de poder es válida para cualquier poder arbitrario y no es una aproximación.