Buena primera respuesta! Por solicitud, lo seguiré:
- ¿Paridad? La inversión de espacio, [matemática] (t, x, y) \ rightarrow (t, -x, -y) [/ matemática], es equivalente a una rotación 180 [matemática] ^ {\ circ} [/ matemática] en 2D, que se encuentra dentro del grupo de Lorentz. Por lo tanto, la primera respuesta implica que la paridad es una simetría de la ecuación de Dirac anterior.
- Simetría de inversión de tiempo? Si se define como (i) [matemáticas] \ psi \ rightarrow \ psi ^ * [/ matemáticas], entonces es una simetría de la ecuación de Dirac anterior. Puede ver eso tomando el complejo conjugado de la ecuación de onda en sí. Si, por otro lado, define la inversión de tiempo mediante (ii) [math] \ psi \ rightarrow \ sigma_1 \ psi ^ * [/ math], entonces no es una simetría. La última definición es la relevante en el caso de un superconductor de onda d en 2D. En ese caso, la simetría de inversión de tiempo es restaurada por uno de los otros tres nodos de Dirac que existen en el medio de las secciones rectas en la superficie de Fermi “diamante”: [matemática] \ varepsilon (k_x, k_y) = 0 [/ matemática ], donde [math] \ varepsilon (k_x, k_y) = -2t_ {1} ({\ rm cos} \, k_x a + {\ rm cos} \, k_y a) [/ math]. Sin embargo, no estoy seguro de cuál es. La combinación de los dos nodos de Dirac da como resultado un spinor de Dirac estándar de 4 componentes. Ah, y el Hamiltoniano BCS para un superconductor de onda d en 2d es [matemática] H _ {\ rm BCS} = \ sum_k \ begin {bmatrix} c _ {\ uparrow} (k) \\ c _ {\ downarrow} (- k ) ^ {\ dagger} \ end {bmatrix} ^ {\ dagger} \ begin {bmatrix} \ varepsilon (k) & \ Delta (k) \\ \ Delta (k) & – \ varepsilon (k) \ end {bmatrix } \ begin {bmatrix} c _ {\ uparrow} (k) \\ c _ {\ downarrow} (- k) ^ {\ dagger} \ end {bmatrix} [/ math], donde [math] \ Delta (k_x, k_y ) = \ Delta_0 ({\ rm cos} \, k_x a – {\ rm cos} \, k_y a) [/ math]. Aquí, [math] c_ {s} (k) ^ {\ dagger} [/ math] y [math] c_ {s} (k) [/ math] son operadores de creación y destrucción de fermiones. Los nodos de Dirac se encuentran específicamente en [math] k = \ pm (\ pi / 2a, \ pi / 2a) [/ math] y [math] \ pm (\ pi / 2a, – \ pi / 2a) [/ math] . Además, los ejes principales se giran 45 [matemáticas] ^ {\ circ} [/ matemáticas] con respecto a los de la ecuación de Dirac anterior.
- ¿Simetría quiral? Según tengo entendido, la ecuación de Dirac anterior con hiladores de 2 componentes tiene una quiralidad bien definida, sin mezclar la mano izquierda y la mano derecha. Esto implica que un término en masa puede generarse por perturbaciones a partir del caso sin masa, [math] m = 0 [/ math]. Estoy resolviendo un problema con un estado de onda de densidad de giro nodal, y creo que esta es mi situación. (Ver, por ejemplo, [0805.3535] Nodal Spin Density Wave y topología de banda de los materiales basados en FeAs).
- ¿Por qué los conmutadores [math] [\ gamma _ {\ mu}, \ gamma _ {\ nu}] [/ math] generan el grupo Lorentz? Lea el capítulo 2 del texto clásico “Mecánica cuántica relativista”, de Bjorken y Drell.