Las sumas infinitas pueden ser complicadas, así que resista la tentación de hacer algo estúpido como ‘oh, cada término tiene 0 como límite, por lo que todo será cero al final’.
Llamemos a la suma S
[matemáticas] S = \ suma \ límites_ {k = 1} ^ n \ frac {n + k} {\ sqrt {n ^ 3 + k}} [/ matemáticas]
Podemos intentar estimar la suma por algo que se garantice que sea más pequeño y por algo que se garantice que sea más grande y ver cómo se comportan esas expresiones.
- Deje que X e Y sean variables aleatorias independientes con variaciones finitas, y deje que U = X + Y y V = XY. ¿En qué condiciones están U y V sin correlación?
- ¿Por qué el valor de x = 13 e y = + / – 13, a pesar de que ambos están en la raíz?
- ¿Cuál es la relación entre el grupo de Lorentz y las matrices [matemáticas] \ gamma [/ matemáticas] de la ecuación de Dirac en dimensiones 2 + 1?
- Cómo integrar sin ^ 3xcos ^ 2xdx
- ¿Cuál es la suma al infinito de la serie convergente [matemáticas] \ frac {1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {2} {8} + \ frac {3} {16} + \ frac {5} {32} + \ frac {8} {64} + \ frac {13} {128} + \ frac {21} {256} + \ frac {34} {512} + \ cdots [/ math] ?
Comencemos con la suma mayor y llamémosla [math] S _> [/ math]. Reemplace todos los denominadores por el más pequeño [math] (\ sqrt {n ^ 3 + 1}) [/ math] – de esa manera [math] S _> [/ math] es mayor que [math] S [/ math]. Pero luego podemos calcular [matemáticas] S _> [/ matemáticas] directamente:
[matemáticas] S_> = \ frac {n ^ 2 + \ frac {n (n-1)} {2}} {\ sqrt {n ^ 3 + 1}} \ sim \ sqrt {n} [/ matemáticas]
para grandes [matemáticas] n [/ matemáticas]. Entonces [math] S _> [/ math] diverge, pero luego [math] S _> [/ math] siempre es más grande que [math] S [/ math], por lo que no es muy útil. Así que tratemos de encontrar una [matemática] S _ <[/ matemática] que siempre sea más pequeña. Como [matemáticas] 2n ^ 3 \ geq n ^ 3 + n [/ matemáticas], intentemos
[matemáticas] S_ <= \ sum \ limites_ {k = 1} ^ n \ frac {n + k} {\ sqrt {2 n ^ 3}} [/ matemáticas]
Pero esto es
[matemáticas] S_ <= \ frac {n ^ 2 + \ frac {n (n-1)} {2}} {\ sqrt {2 n ^ 3}} \ sim \ sqrt {n} [/ matemáticas]
así como
[matemáticas] S_ [/ matemáticas]
y [math] S _> [/ math] y [math] S _ <[/ math] divergen, también lo hace [math] S [/ math].
