Deje que X e Y sean variables aleatorias independientes con variaciones finitas, y deje que U = X + Y y V = XY. ¿En qué condiciones están U y V sin correlación?

Deje que X e Y sean variables aleatorias independientes con variaciones finitas, y deje que U = X + Y y V = XY. ¿En qué condiciones están U y V sin correlación?

Las variables no están correlacionadas si su covarianza es cero, es decir, [matemática] E [UV] – E [U] E [V] = 0 [/ matemática]. En otras palabras, desea [matemáticas] E [X ^ 2Y + XY ^ 2] = (E [X] + E [Y]) E [XY] [/ matemáticas]. Usando la independencia, [matemáticas] E [X ^ 2] E [Y] + E [X] E [Y ^ 2] = E [X] ^ 2E [Y] + E [X] E [Y] ^ 2 [/ matemáticas]. Finalmente, [matemáticas] V [X] E [Y] = -E [X] V [Y] [/ matemáticas].

Por lo tanto, una condición suficiente es que ambos medios son cero. Si solo una de las medias es cero, la otra variable debe ser una constante. Si las varianzas son iguales, la suma de las medias debe ser cero. Una condición necesaria, cuando las variaciones son distintas de cero, es que las medias de X e Y deben tener signos opuestos.