“Punto de inflexión” no es una terminología matemática estándar, por ejemplo, ¿llamaría a 0 un punto de inflexión de x ³ o no? ¿Es un punto de inflexión un cero de la derivada, independientemente de la multiplicidad, o solo si la multiplicidad es impar?
Entonces, su pregunta parece ser una pregunta sobre el número (y la multiplicidad) de las soluciones reales de un polinomio (la derivada de x ¹² + x ⁵ + x ⁴ + x ², es decir, 12 x ¹¹ + 5 x ⁴ + 4 x ³ + 2 x ).
Además, como comentó David, un polinomio específico tiene un cierto número de características (por ejemplo, raíces reales o “puntos de inflexión”), su pregunta podría ser razonable solo si el polinomio tiene parámetros en su definición. Pero en cualquier caso, supongo que está interesado en ver los métodos para calcular o estimar el número de raíces (sin encontrar las raíces numéricamente).
Para polinomios reales, existen diferentes herramientas para calcular exactamente, o estimar, el número de raíces, sin tener que calcular las raíces explícitamente o aproximadamente. Para raíces complejas, el número importante es el grado, para raíces reales es el número de monomios. Dibujaré las dos herramientas principales: regla de signos de Descartes, (estimación) y secuencias de Sturm (respuesta exacta).
La regla de signos de Descartes da una estimación del número de raíces positivas de un polinomio, simplemente mirando los signos de los coeficientes. 12x¹¹ + 5x⁴ + 4x³ + 2x tiene coeficientes 12,5,4,2 cuyos signos son +, +, +, +. Como los signos son todos positivos, no hay variación, por lo tanto, no hay raíces positivas.
Para ver si 12x¹¹ + 5x⁴ + 4x³ + 2x puede tener raíces negativas, reemplace x con -x. Esto da -12x¹¹ + 5x⁴-4x³-2x. Los signos son -, +, -, -. Hay una variación entre el primer y el segundo signo, (-, +) y uno entre el segundo y el tercero (+, -). Esto da una estimación máxima de 2 raíces negativas. El número verdadero de raíces negativas puede ser 2 o 0. Además, 0 es una tercera (o primera) raíz.
Ver la regla de signos de Descartes – Wikipedia
La regla establece que si los términos de un polinomio de variable única con coeficientes reales se ordenan por exponente variable descendente, entonces el número de raíces positivas del polinomio es igual al número de diferencias de signos entre coeficientes consecutivos distintos de cero, o es menor que por un número par. Múltiples raíces del mismo valor se cuentan por separado.
Para encontrar el número exacto de raíces reales, en cualquier intervalo, uno puede usar secuencias de Sturm. Para obtener la secuencia de Sturm de un polinomio, uno tiene que realizar una variante del algoritmo de Euclides entre un polinomio y su derivada.
La secuencia de Sturm de un polinomio g ( x ) se define como sigue:
s_0 = g
s_1 = d g / d x
s_ i = [el opuesto del resto de la división de g _ { i -1} por g _ { i -2}]
hasta que uno llegue a 0, digamos en s_ {n + 1}.
Si a es un número real, sea s (a) la secuencia de signos s_0 (a), …, s_n (a) con todos los ceros eliminados. Es una secuencia de signos. Considere el número de variaciones, es decir, el número de posiciones donde a + sigue a -, o viceversa; deja que sea s ± (a). También puede considerar s ± (- ∞) y s ± (∞).
El número de raíces entre a y b es s ± (a) – s ± (b). (es decir, al pasar por una raíz, las variaciones se reducen en 1).
Vea el teorema de Sturm – Wikipedia para los detalles del teorema y un cálculo de muestra. Realizar cálculos manuales es bastante difícil para los polinomios de alto grado, debido al crecimiento de los coeficientes (que no pueden ser aproximados, pero deben calcularse exactamente).
Existen otros algoritmos para calcular el número exacto de raíces, pero el algoritmo preferido actualmente es una variante de la secuencia de Sturm (secuencia de Sturm-Habicht, usando subresulgantes en lugar de división).
