¿Es cada AB = BA?

Answer 1

Para un buen número de casos, sí, ya que este es un producto entre A y B. Pero a veces, en casos de vectores, la propiedad conmutativa no es válida. Digamos que teníamos un producto particular entre dos vectores: el producto cruzado. Digamos que el vector [math] \ vec A [/ math] [math] = \ left [/ math] y el vector [math] \ vec B = \ left [/ matemáticas]

[math] \ vec A \ times \ vec B [/ math] (considerado como A cross B) sería igual al determinante para cada vector unitario:

[matemática] \ vec A \ times \ vec B = \ begin {vmatrix} \ hat \ imath & \ hat \ jmath & \ hat k \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \ end {vmatrix} [ /matemáticas]

[matemáticas] \ hat \ imath = \ begin {vmatrix} 2 y 3 \\ 5 y 6 \ end {vmatrix} [/ math]

[matemáticas] = (2 \ cdot 6 – (3 \ cdot 5)) = -3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ hat \ jmath = – \ begin {vmatrix} 1 y 3 \\ 4 y 6 \ end {vmatrix} [/ math]

[matemáticas] = – (1 \ cdot 6 – (3 \ cdot 4)) = – (- 6) = 6 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ hat k = \ begin {vmatrix} 1 y 2 \\ 4 y 5 \ end {vmatrix} [/ math]

[matemáticas] = (1 \ cdot 5 – (2 \ cdot 4)) = -3 [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] \ vec A \ times \ vec B = \ left [/ math]

[math] \ vec B \ times \ vec A [/ math] simplemente cambia la posición de los vectores con [math] \ vec B [/ math] encima de [math] \ vec A [/ math] en lugar de viceversa . Con estos pasos realizados de la misma manera (o tal vez de una manera más rápida, como tener conocimiento del producto vectorial cruzado), encontramos

[matemáticas] \ vec B \ veces \ vec A = \ left [/ math].

Esto nos proporciona la anti-conmutatividad de los productos cruzados. Es decir,

[matemáticas] \ vec A \ veces \ vec B = – \ vec B \ veces \ vec A [/ matemáticas].

Otro producto también hará que esta multiplicación de matrices sea falsa. En muchos casos, la multiplicación de matrices no es conmutativa ni anti-conmutativa, ya que dentro de su multiplicación hay un producto de puntos.

La multiplicación de matrices es multiplicar y sumar (término por término correspondiente) la fila de la primera matriz por la primera columna de la segunda matriz y luego continuar por el número de columnas en la segunda matriz. Este proceso continúa repitiendo este proceso para el número de filas en la primera matriz. Y luego uno se da cuenta de que tendrían que tratar de hacer que esto sea conmutativo o anti-conmutativo y puede a) hacerlo o b) no hacerlo. Si fuera a extraer dos matrices aleatorias, A y B de la nada, sería muy poco probable que mostraran la propiedad conmutativa de AB = BA.

En resumen, los productos cruzados de vectores y la multiplicación de matrices tienen esta forma de AB = BA pero no siguen esta propiedad de conmutatividad con la frecuencia suficiente como para que cada AB = BA.

Editar: Como has descubierto (o no), hay muchos problemas al tratar de poner matrices y vectores en Quora.

Answer 2

No, y una prueba clara es el vector.

En vectores, [math] \ overrightarrow {AB} [/ math] y [math] \ overrightarrow {BA} [/ math] son ​​diferentes.

Es lo mismo imaginar que vas de tu casa a tu abuela y tienes dos rutas: una para la abuela y otra para volver a casa. Aunque la longitud de las rutas puede ser la misma, la dirección es diferente, lo que, por su parte, hace que los vectores sean diferentes entre sí.

Answer 3

No es verdad. Depende del operador que esté utilizando. Hay una rama de álgebra que se ocupa de estas funciones donde ab # ba. Se llama álgebra no conmutativa y es un área activa de investigación.

Answer 4

No, no necesariamente Sin embargo, en muchos casos, eso es bastante cierto, pero en otros, no lo es. Por ejemplo, en aritmética, [math] cb [/ math] = [math] bc [/ math]. Sin embargo, al hablar de vectores, ese simplemente no es el caso. Un vector es algo que tiene magnitud y dirección, como la fuerza, la aceleración o la velocidad. Supongamos que tenemos un vector que comienza en el punto A y termina en los puntos B, entonces [math] \ overrightarrow {AB} [/ math] este curso no es igual a [math] \ overrightarrow {BA} [/ math]. En matemáticas, esto no tiene sentido, y esa afirmación es igualmente cierta con la ayuda del sentido común. “¿Por qué?” Usted puede preguntar. La respuesta a esto es simple, porque si hablamos de vectores, estamos discutiendo algo con magnitud y dirección, por lo tanto, [matemática] \ overrightarrow {AB} = – \ overrightarrow {BA} [/ math]

Answer 5

Si te refieres a la multiplicación de A y B, entonces sí, AB = BA.

Sin embargo, si “AB” se refiere a un segmento de línea entre dos puntos, A y B, la longitud de ese intervalo sería la misma independientemente del orden, a menos que la dirección / magnitud estuviera en cuestión, por ejemplo, el efecto de la gravedad, la fuerza para lanzar algo hacia el cielo, la velocidad de un viento de frente cuando se viaja hacia el este o el oeste, etc.

Answer 6

Muy bien, suficientes matemáticas y física.

Esto es AB

Esto es BA

¿Son iguales? Tú decides

Answer 7

No para la multiplicación de matrices.

Answer 8

No. No está claro sin una explicación ampliada.