¿Cómo podemos factorizar (x ^ 4) + 1 / (x ^ 4) -3?

Answer 1

¿Cómo podemos factorizar (x ^ 4) + 1 / (x ^ 4) -3?

Primero, a veces es útil, aunque de ninguna manera es necesario, “normalizar” polinomios con exponentes negativos. Lo hago solo porque las cosas me parecen más familiares. En este caso, simplemente agregue 4 a cada exponente, póngalos en orden descendente y obtendrá

[matemáticas] \ qquad x ^ 8–3x ^ 4 + 1 [/ matemáticas]

Ahora, es bastante fácil reconocer esto como

[matemáticas] \ qquad u ^ 2–3u + 1, [/ matemáticas]

donde [matemática] u = x ^ 4. [/ matemática] Esto no tiene en cuenta los enteros, pero con un poco de inteligencia, puede reconocerlo como la diferencia de dos cuadrados

[matemáticas] \ qquad \ begin {align} u ^ 2–3u + 1 & = u ^ 2–2u + 1-u \\ & = (u-1) ^ 2 – (\ sqrt {u}) ^ 2 \\ & = (u-1- \ sqrt {u}) (u-1 + \ sqrt {u}) \ end {align} [/ math]

Entonces, reemplazando [math] u [/ math] con [math] x ^ 4 [/ math] y [math] \ sqrt {u} [/ math] con [math] x ^ 2, [/ math]

[matemáticas] \ qquad x ^ 8–3x ^ 4 + 1 = (x ^ 4-x ^ 2-1) (x ^ 4 + x ^ 2-1) [/ matemáticas]

y luego, dividiendo el lado izquierdo entre [matemáticas] x ^ 4 [/ matemáticas] y dividiendo cada factor en el lado derecho entre [matemáticas] x ^ 2, [/ matemáticas] simplemente bajamos los exponentes en consecuencia,

[matemáticas] \ qquad x ^ 4–3 + x ^ {- 4} = (x ^ 2-1-x ^ {- 2}) (x ^ 2 + 1-x ^ {- 2}) [/ matemáticas]

---

Ahora, teniendo esto en cuenta haciendo que las cosas parezcan más familiares, con el beneficio de la retrospectiva, puedo incluirlo en menos pasos de la siguiente manera (lo que acabo de notar que Doug Dillon hizo en su respuesta). Primero, reescribe el polinomio como la diferencia de dos cuadrados, luego factorízalo como el producto de una suma y una diferencia:

[matemáticas] \ qquad \ begin {align} x ^ 4–3 + x ^ {- 4} & = x ^ 4–2 + x ^ {- 4} -1 \\ ~ \\ & = (x ^ 2- x ^ {- 2}) ^ 2-1 \\ ~ \\ & = (x ^ 2-x ^ {- 2} -1) (x ^ 2-x ^ {- 2} +1) \ end {alinear }[/matemáticas]

Lindo, eh?

Answer 2

Pongamos un lugar en lugar de x ^ 4. Entonces la expresión se convierte en (a + 1 / a-3) / 3 = (a ^ 2-3a + 1) / 3 = (a ^ 2-2a + 1-a) / 3 = {(a-1) ^ 2 -a} / 3 = {(a-1) ^ 2– (a) ^ 1/2)} / 3 = {a-1 + (a) ^ 1/2} {a-1– (a) ^ 1 / 2} / 3 = (a + a ^ 1 / 2-1) (aa ^ 1 / 2–1) / 3, ahora sustituye x ^ 4 por a. Del mismo modo, a ^ 1/2 se convierte en x ^ 2. Ahora la expresión se convierte,

(x ^ 4 + x ^ 2-1) (x ^ 4-x ^ 2-1) / 3 (ans)

Answer 3

[matemáticas] x ^ 4 + \ dfrac {1} {x ^ 4} -3 = x ^ 4-2 + \ dfrac {1} {x ^ 4} -1 = (x ^ 2- \ dfrac {1} { x ^ 2}) ^ 2-1 = (x ^ 2- \ dfrac {1} {x ^ 2} -1) (x ^ 2- \ dfrac {1} {x ^ 2} +1) [/ math]

Answer 4

Aunque este es un trinomio, aquí no hay factores comunes. Puedes intentar multiplicar toda la ecuación por x ^ 4 para deshacerte del denominador en el término medio (entonces será igual a 1) pero aún te quedaría con x ^ 8 y -3x ^ 4.