Si la pregunta es sobre [matemáticas] (\ sin {x}) ^ {- 1} + (\ sin {(1-x)}) ^ {- 1} = (\ cos {x}) ^ {- 1 } [/ math], entonces no hay soluciones reales, aunque existen soluciones en los números complejos.
Esto se puede escribir más claramente como [math] \ csc {x} + \ csc (1-x) = \ sec {x} [/ math], donde [math] \ csc {x} \ equiv \ frac {1} {\ sen {x}} [/ math] y [math] \ sec {x} \ equiv \ frac {1} {\ cos {x}} [/ math], y este gráfico muestra cómo [math] \ sec { x} [/ math] (en rojo) “encaja” entre los valores de [math] \ csc {x} + \ csc (1-x) [/ math] (en azul) para que no haya soluciones reales:
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Sin embargo, si la pregunta fuera sobre [matemáticas] \ sin ^ {- 1} {x} + \ sin ^ {- 1} (1-x) = \ cos ^ {- 1} {x} [/ matemáticas ], la situación cambia un poco.
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Nuevamente, esto se puede escribir más claramente como [matemáticas] \ arcsin {x} + \ arcsin (1-x) = \ arccos {x} [/ math], donde [matemáticas] \ arcsin {x} \ equiv \ sin ^ {-1} {x} [/ math] y [math] \ arccos {x} \ equiv \ cos ^ {- 1} {x} [/ math]. Prefiero usar [math] \ arcsin [/ math] y [math] \ arccos [/ math] debido a la posible ambigüedad causada en la notación [math] \ sin ^ {- 1} {x} [/ math] y [matemáticas] \ cos ^ {- 1} {x} [/ matemáticas].
[math] \ arcsin {x} + \ arcsin (1-x) [/ math] solo tiene valores reales cuando [math] x [/ math] y [math] 1-x [/ math] están en el rango [ matemática] [- 1, 1] [/ matemática], es decir , cuando [matemática] 0 \ le x \ le 1 [/ matemática]. Si dibujamos los gráficos de [math] \ arcsin {x} + \ arcsin (1-x) [/ math] y [math] \ arccos {x} [/ math] sobre este rango, vemos que hay dos puntos de intersección: [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = \ frac {1} {2} [/ matemáticas].
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En [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas], [matemáticas] 1 – x = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ arcsin {0} = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ arcsin {1} = \ frac {\ pi} {2} [/ math]. [matemáticas] 0 + \ frac {\ pi} {2} = \ frac {\ pi} {2} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ cos {\ frac {\ pi} {2}} = 0 = x [/matemáticas].
En [matemática] x = \ frac {1} {2} [/ matemática], [matemática] 1 – x = \ frac {1} {2} [/ matemática] y [matemática] \ arcsin {\ frac {1 } {2}} = \ frac {\ pi} {6} [/ math]. [matemática] \ frac {\ pi} {6} + \ frac {\ pi} {6} = \ frac {\ pi} {3} [/ matemática] y [matemática] \ cos {\ frac {\ pi} {3}} = \ frac {1} {2} = x [/ math].
El gráfico sugiere que estos dos valores son las únicas soluciones. También podríamos demostrarlo de manera más precisa con un poco de análisis al encontrar las raíces de [matemáticas] f (x) = \ arcsin {x} + \ arcsin (1-x) – \ arccos {x} [/ math] en [ matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]. Esto implicaría señalar que [matemáticas] f (0) = 0 [/ matemáticas], que [matemáticas] f ‘(x) <0 [/ matemáticas] en [matemáticas] [0, \ frac {4} {3} – \ frac {\ sqrt {13}} {3}) [/ math] por lo que no puede haber otras soluciones en ese rango, que [math] f '(\ frac {4} {3} – \ frac {\ sqrt { 13}} {3}) = 0 [/ matemática] y [matemática] f (\ frac {4} {3} – \ frac {\ sqrt {13}} {3}) 0 [/ matemática] en [matemática] (\ frac { 4} {3} – \ frac {\ sqrt {13}} {3}, 1] [/ math] por lo que solo puede haber como máximo una raíz más en ese rango, y que por lo tanto [math] f \ left (\ frac {1} {2} \ right) = 0 [/ math] debe ser esa raíz restante. Los detalles computacionales se dejan como ejercicio para el lector 🙂
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