¿Cómo podemos encontrar la raíz cuadrada de 3 y por qué funciona el método?

Answer 1

Si desea obtener una buena aproximación decimal, puede usar el método Newton-Raphson.

Este método requiere cálculo. La razón por la que el método funciona es que si sigue la línea tangente al punto donde cruza el eje x, encontrará una coordenada x más cercana al verdadero 0 de la función que la coordenada x anterior. Si repite este proceso, continuará acercándose cada vez más. Esto supone que la función se comporta bien y selecciona un punto de partida que está bastante cerca del verdadero 0.

Definamos [matemáticas] x = \ sqrt {3} [/ matemáticas]

Para obtener una forma simple y agradable que sea igual a 0, podemos tomar 2 pasos, primero cuadramos ambos lados:

[matemáticas] x ^ 2 = 3 [/ matemáticas]

Ahora tenemos un buen número básico de 3, que tiene una forma racional muy simple.

Para hacer una función igual a 0, ahora restamos.

[matemáticas] x ^ 2 – 3 = 0 [/ matemáticas]

Ahora que tenemos una función bastante simple que es igual a 0, podemos aplicar el método Newton-Raphson.

[matemáticas] f (x) = x ^ 2 – 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(x) = 2x [/ matemáticas]

Al conectarlos a la fórmula, obtenemos:

[matemáticas] x_ {n + 1} = x_n – \ dfrac {{x_n} ^ 2 – 3} {2x_n} [/ matemáticas]

[matemáticas] x_ {n + 1} = \ dfrac {{x_n} ^ 2 + 3} {2x_n} [/ matemáticas]

Dado que [matemática] 1 ^ 2 = 1 [/ matemática] y [matemática] 2 ^ 2 = 4 [/ matemática], parece que 2 puede ser el número entero más cercano a la raíz cuadrada de 3, por lo que elegiré eso como mi valor inicial:

[matemáticas] x_0 = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_1 = \ frac {7} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] x_2 = \ frac {97} {56} [/ matemáticas]

[matemáticas] x_3 = \ frac {18817} {10864} [/ matemáticas]

[matemáticas] x_4 = \ frac {708158977} {408855776} [/ matemáticas]

Eso termina siendo una muy buena aproximación, si divide esa fracción, el valor redondeado a 17 dígitos sería el mismo que la raíz cuadrada real de 3. No hay muchos campos aplicados donde necesitaría más precisión que eso, porque sus propios datos probablemente no sean tan precisos. El valor de 17 dígitos del que hablaba es:

1.7320508075688773

Answer 2

El mejor método que conozco para encontrar la raíz cuadrada de un número:

¿Pero qué pasa si no tienes una máquina tan encantadora a la mano?

Bueno, estoy seguro de que hay formas más eficientes, un método que conozco es adivinar y verificar:

Primero te das cuenta de que [matemáticas] 1 [/ matemáticas] es demasiado pequeño para ser la raíz cuadrada de [matemáticas] 3 [/ matemáticas] ([matemáticas] 1 ^ 2 [/ matemáticas] es solo [matemáticas] 1 [/ matemáticas] ) y [math] 2 [/ math] es demasiado grande para ser la raíz cuadrada de [math] 3 [/ math] ([math] 2 ^ 2 = 4 \ gt 3 [/ math]). Entonces, podemos suponer que [matemáticas] 1 \ lt \ sqrt {3} \ lt 2 [/ matemáticas] así que [matemáticas] 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] 2 [/ matemáticas] son ​​nuestro nuevo límite superior e inferior, así que vamos calcule su media ([matemática] \ nombre de operador {media} (a, b) = \ frac {a + b} {2} [/ matemática]) aquí [matemática] 1.5 [/ matemática] y esta es nuestra nueva estimación. Ahora [matemática] 1.5 ^ 2 [/ matemática] es [matemática] 2.25 [/ matemática] todavía muy pequeña, así que establezcamos nuestro nuevo límite inferior y recalculemos la media [matemática] \ nombre del operador {media} (1.5,2) = 1.75 [/ matemática] y vemos que esta nueva estimación ya es demasiado grande ([matemática] 1.75 ^ 2 = 3.0625 [/ matemática]) así que [matemática] 1.75 [/ matemática] es nuestro nuevo límite superior y la nueva media es [matemática ] 1.625 [/ math], que es demasiado pequeño, así que tomamos esto como nuestro nuevo límite inferior, ya que su cuadrado es demasiado pequeño, por lo que podríamos continuar para siempre porque [math] \ sqrt {3} [/ math] es un número irracional ( de hecho, cada entero positivo, que no es un cuadrado perfecto, tiene una raíz irracional), pero cuanto más lo hagamos, más nos acercaremos al resultado que una calculadora nos puede dar: [matemática] \ sqrt {3} \ approxeq 1.7320508075688772935274463415059 [/ matemáticas]

Ahora el método funciona porque para todos los números reales mayor igual [matemática] 1 [/ matemática] si [matemática] a \ gt b [/ matemática] que [matemática] a ^ 2 \ gt b ^ 2 [/ matemática] para que podamos hacer una mejor y mejor estimación mediante una pequeña búsqueda lineal. (Ahora tenga cuidado con todos los números reales [math] r [/ math] con [math] 0 \ lt r \ lt 1 [/ math] [math] r [/ math] -square es mucho más pequeño que [math] r [/ matemática] por lo que debe modificar su búsqueda en consecuencia. Y las raíces cuadradas de números negativos no son reales)

Normalmente, si un dígito ha dejado de cambiar durante un tiempo, es una apuesta segura, es fijo y luego calcula el tiempo que desee o hasta que esté satisfecho con el resultado. Pero normalmente use [math] \ sqrt {3} [/ math] como una variable, porque es una representación exacta de este número, mientras que [math] 1.73205 \ ldots [/ math] siempre es solo una aproximación.

Answer 3

Construcción geométrica.

Para una construcción geométrica, primero dibuje un triángulo rectángulo con lados de longitud de una unidad cada uno, llame a sus vértices A, B y C, donde B es el vértice del ángulo recto. La hipotenusa AC de ese triángulo es, por lo tanto, de longitud sqrt (2) unidades. Ahora dibuje una línea de longitud de una unidad en ángulo recto a esa hipotenusa desde un punto final, digamos A, a D. Luego, la hipotenusa del triángulo ACD resultante es unidades sqrt (1 + 2) = sqrt (3). Puede extender este procedimiento para encontrar sqrt (n) para cada entero positivo n dibujando triángulos sucesivos geométricamente para producir una línea de longitud sqrt (n).

El método funciona debido al teorema de Pitágoras. Si ABC es un triángulo rectángulo de lados de longitud a y b, entonces su hipotenusa tiene una longitud sqrt (a ^ 2 + b ^ 2), aplicada en el caso donde a = ny b = 1.

Método algebraico.

Primero tenga en cuenta que sqrt (3) = 2 sqrt (0.75) = 2 (1 – 0.25) ^ (1/2). Use la expansión de la serie de potencias para (1 + x) ^ n donde x = -0.25 yn = 1/2.

Answer 4

Sea N el número y r su raíz cuadrada.

Sea un factor de N.

Divide N entre p para obtener q.

Si p = r, q también debería ser r.

Si p> r entonces q

Si p r.

Cuando p se acerca a r, q también se acerca a r.

Es evidente que r se encuentra entre py q.

Entonces, tomando el promedio de pyq, obtenemos un número más cercano a r.

Tomando este promedio como nuevo p, podemos calcular el nuevo q y, por lo tanto, el nuevo promedio que estará más cerca de r.

Puede repetir este ejercicio hasta que obtenga un resultado lo más cercano a la raíz que desee.

Aplicando este método, calculemos la raíz de 3.

Comencemos con 2 como factor.

3/2 = 1.5

Promedio de 2 y 1.5 = 1.75.

Ahora comenzando con 1.75:

3 / 1.75 = 1.714

Promedio de 1.75 y 1.714 = 1.732.

Esto está bastante cerca del factor inicial y, por lo tanto, puede que no sea necesaria una mayor iteración.

Entonces √3 = 1.732

Answer 5

El método de división larga funciona bien para calcular la raíz cuadrada de 3.

El valor de la raíz cuadrada de 3 es aproximadamente 1.732050808 …

PD: La raíz cuadrada de 3 está entre 1 y 2. Un método aproximado para encontrar [math] \ sqrt {3} [/ math] es [math] \ sqrt {1}, \ sqrt {2}, \ sqrt {3} , \ sqrt {4} [/ math] es tres cuartos, de 1.75 aproximadamente.

Answer 6

Esta función: [matemática] F [x] = \ frac {x + 3 / x} {2} [/ matemática] aplicada converge repetidamente muy rápidamente a [matemática] \ sqrt {3} [/ matemática].

Ejemplo: digamos que es lo suficientemente inteligente como para saber que está más cerca de 2 que 1. Encuentre F [2] = 7/4 = 1.75. Aplicar de nuevo: F [7/4] = 97/56 = 1.7321 que ya tiene una precisión de 4 lugares. Una vez más: F [97/56] = 18817/10864 = 1.73205081, lo cual es correcto para algunas partes por billón. Cada aplicación duplica el número de dígitos correctos.

Esto funciona debido al método de Newton. Puedes buscarlo.