¿Qué es [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 1} \ dfrac {x ^ 2-1} {x ^ 2 + 3x-4} [/ math]?

Answer 1

Puede ver si resuelve para [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas] que obtiene una fracción en forma de [matemáticas] \ dfrac {0} {0} [/ matemáticas] que es indeterminado. Cuando te encuentras en una situación como esta, puedes aplicar la regla de L’Hôpital: Wikipedia. Dice que [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a a} \ dfrac {f (x)} {g (x)} = \ displaystyle \ lim_ {x \ to a} \ dfrac {f ‘(x)} {g ‘(x)} [/ math], las condiciones son que [math] g’ (x) \ neq 0 [/ math] y [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to a} f (x) = \ displaystyle \ lim_ {x \ to a} {g (x)} = \ pm \ infty [/ math] o [math] 0 [/ math].

Entonces puede resolver los límites en la forma [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to a} \ dfrac {f (x)} {g (x)} = \ dfrac {0} {0} [/ math] y [ matemática] \ displaystyle \ lim_ {x \ a a} \ dfrac {f (x)} {g (x)} = \ pm \ dfrac {\ infty} {\ infty} [/ math] al diferenciar ambas [math] f (x) [/ math] y [math] g (x) [/ math] y resolviendo [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to a} \ dfrac {f ‘(x)} {g’ (x)} [/matemáticas].

Volviendo a nuestro problema! Sea [math] f (x) = x ^ 2 – 1 [/ math], [math] g (x) = x ^ 2 + 3x – 4 [/ math]. Entonces [matemáticas] f ‘(x) = 2x [/ matemáticas], [matemáticas] g’ (x) = 2x + 3 [/ matemáticas].

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 1} \ dfrac {f (x)} {g (x)} = \ displaystyle \ lim_ {x \ to 1} \ dfrac {f ‘(x)} {g’ (x)} = \ displaystyle \ lim_ {x \ to 1} \ dfrac {2x} {2x + 3} = \ dfrac {2} {5} [/ math].

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Vlad

Answer 2

Primero, sustituya [matemáticas] x [/ matemáticas] como [matemáticas] 1 [/ matemáticas] para tener una idea de cómo se puede resolver este límite:

[matemáticas] \ dfrac {1-1} {1 + 3 – 4} = \ dfrac {0} {0} [/ matemáticas]

Debido a que el límite es indeterminado, sabemos que no se puede descartar instantáneamente como [math] \ infty [/ math], [math] 0 [/ math], [math] 1 [/ math] o cualquier otro cociente perceptible de [ matemáticas] \ dfrac {0} {0} [/ matemáticas]. Tenga en cuenta que la expresión se puede factorizar:

[matemáticas] \ dfrac {x ^ 2-1} {x ^ 2 + 3x-4} = \ dfrac {(x + 1) (x-1)} {(x-1) (x + 4)} [/ matemáticas]

Podemos cancelar el factor común de [math] x-1 [/ math] y reevaluar el límite usando la sustitución:

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 1} \ dfrac {x + 1} {x + 4} = \ dfrac {2} {5} [/ matemáticas]

Así,

[math] \ boxed {\ displaystyle \ lim_ {x \ to 1} \ dfrac {x ^ 2-1} {x ^ 2 + 3x-4} = \ dfrac {2} {5}} [/ math].

Answer 3

Rompiendo la ecuación anterior en

(x-1) (x + 1) / (x + 4) (x-1)

x-1 se cancelará y la ecuación se convierte en (x + 1) / (x + 4)

Luego, aplicando el límite x tiende a 1 para la ecuación anterior obtenemos (1 + 1) / (4 + 1)

= 2/5

Answer 4

[matemáticas] \ lim_ {x \ a 1} \ frac {x ^ 2-1} {x ^ 2 + 3x-4} = \ frac {(x + 1) (x-1)} {(x-1) (x + 4)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ lim_ {x \ a 1} \ frac {(x + 1) (x-1)} {(x-1) (x + 4)} = \ frac {\ lim_ {x \ to 1} x +1} {\ lim_ {x \ a 1} x + 4} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ lim_ {x \ a 1} \ frac {(x + 1) (x-1)} {(x-1) (x + 4)} = \ frac {2} {5} [/ matemáticas]

A medida que [math] x [/ math] se acerca a 1, el numerador se acerca a 2 y el denominador se acerca a 5, por lo que el límite se acerca a 2/5, que es 0.4

Answer 5

Por la regla del hospital: