¿Por qué [math] e ^ {i \ pi} + 1 = 0 [/ math]?

Answer 1

Bueno, depende de lo que puedas asumir. Si puedes asumir la fórmula de Euler, es fácil. Probemos primero la fórmula de Euler:

Mostrar: [matemáticas] e ^ {ix} = \ cos x + i \ \ sin x [/ matemáticas]

Hay muchas pruebas, que también varían según lo que se supone. No me gustan las series de Taylor. Aquí hay una prueba que supone solo cálculo diferencial.

Sea [math] f (x) = \ dfrac {\ cos x + i \ sin x} {e ^ {ix}} [/ math]

[matemáticas] f (0) = \ dfrac {\ cos 0 + i \ sin 0} {e ^ {i \ cdot 0}} = \ dfrac {1} {1} = 1 [/ matemáticas]

Vamos a diferenciar, recordando la regla de los cocientes:

[matemáticas] d \ dfrac {u} {v} = \ dfrac {v \ du – u \ dv} {v ^ 2} [/ matemáticas]

La derivada de [math] \ cos [/ math] es [math] – \ sin [/ math], la derivada de [math] \ sin [/ math] es [math] \ cos [/ math], entonces

[matemáticas] \ dfrac {df} {dx} = \ dfrac {e ^ {ix} (- \ sin x + i \ cos x) – (\ cos x + i \ sin x) (es decir, ^ {ix})} {e ^ {2ix}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {df} {dx} = \ dfrac {e ^ {ix} (- \ sin x – i ^ 2 \ sin x + i \ cos x – i \ cos x)} {e ^ {2ix} } [/matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {df} {dx} = 0 [/ matemáticas]

[math] f (x) [/ math] es una función cuya derivada siempre es cero, por lo que [math] f (x) [/ math] debe ser una constante, por lo que [math] f (x) = f (0) = 1 [/ math] para todos [math] x [/ math].

[matemáticas] f (x) = \ dfrac {\ cos x + i \ sin x} {e ^ {ix}} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x [/ matemáticas]

Ahora deje que [math] x = \ pi [/ math], y recordando [math] \ cos \ pi = -1 [/ math] y [math] \ sin \ pi = 0 [/ math], obtenga [math] e ^ {i \ pi} = -1 [/ matemáticas] o [matemáticas] e ^ {i \ pi} + 1 = 0 [/ matemáticas].

Bien, intentemos otra prueba, esta vez usando integración. El plan es tratar de integrar ambos lados de una identidad, una que termine con [math] \ ln [/ math] y la otra con [math] \ arctan [/ math] y ver qué sucede. Comencemos con la expresión

[matemáticas] \ dfrac {1} {1 + ix} + \ dfrac {1} {1-ix} = \ dfrac {1 + ix + 1-ix} {(1 + ix) (1-ix)} = \ dfrac {2} {1 + x ^ 2} [/ matemáticas]

Integremos

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ left (\ dfrac {1} {1 + ix} + \ dfrac {1} {1-ix} \ right) \ mathrm {d} x = \ int \ dfrac {2} {1 + x ^ 2} \ mathrm {d} x [/ math]

[matemáticas] -i \ ln {(1 + ix)} + i \ ln {(1-ix)} = 2 \ arctan x + C [/ matemáticas]

Cuando [math] x = 0 [/ math] todos los términos desaparecen, entonces [math] C = 0 [/ math], y podemos descartarlo.

[matemáticas] -i \ ln \ dfrac {1 + ix} {1-ix} = 2 \ arctan x [/ matemáticas]

Quiero usar [math] \ tan \ dfrac {\ pi} {4} = 1 [/ math], así que para obtener un [math] i \ pi [/ math] necesito un [math] 4i [/ math] factor a la derecha, entonces multiplicamos ambos lados por [matemáticas] 2i [/ matemáticas].

[matemáticas] 2 \ ln \ dfrac {1 + ix} {1-ix} = 4i \ arctan x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln {\ left (\ dfrac {1 + ix} {1-ix} \ right)} ^ 2 = 4i \ arctan x [/ math]

[matemáticas] \ left (\ dfrac {1 + ix} {1-ix} \ right) ^ 2 = e ^ {i 4 \ arctan x} [/ math]

Ahora dejemos que [matemática] x = 1 [/ matemática] así que [matemática] \ arctan x = \ dfrac {\ pi} {4}. [/ Matemática]

[matemática] \ left (\ dfrac {1 + i} {1-i} \ right) ^ 2 = e ^ {i \ pi} [/ math]

Ahora tenemos que cuadrar esa cosa:

[matemáticas] \ left (\ dfrac {1 + i} {1-i} \ right) ^ 2 = \ dfrac {1 + 2i + i ^ 2} {1-2i + i ^ 2} = \ dfrac {2i} {-2i} = -1 [/ matemáticas]

Poniendo todo junto

[matemáticas] e ^ {i \ pi} = -1 [/ matemáticas]

Las dos primeras pruebas fueron realmente solo algunos trucos inteligentes de cálculo que funcionan. Aquí hay una tercera prueba; Creo que es más fundamental. Estoy bastante seguro de que se me ocurrió esta, aunque apuesto a que una búsqueda arrojaría una versión de doscientos años. Se remonta a los primeros principios, la definición de [matemática] e ^ x, [/ matemática] y simplemente lo resuelve.

[matemáticas] \ displaystyle e ^ x = \ lim_ {n \ to \ infty} (1 + \ dfrac {x} {n}) ^ n [/ matemáticas]

Simplemente conectemos [math] x = i \ theta [/ math].

[matemáticas] \ displaystyle e ^ {i \ theta} = \ lim_ {n \ to \ infty} (1 + \ frac {i \ theta} {n}) ^ n [/ math]

Dejemos que [math] z = 1 + i \ dfrac {\ theta} {n} [/ math]. [math] z [/ math] es un número complejo que, a medida que [math] n [/ math] crece, es un poco más largo que [math] 1 [/ math] y un poco más arriba del eje real. Al convertir a coordenadas polares, obtenemos [math] | z | = \ sqrt {1 + \ dfrac {\ theta ^ 2} {n ^ 2}} [/ math] y [math] \ angle z = \ arctan \ dfrac { \ theta} {n} [/ math]. No voy a escribir esto en notación exponencial porque eso es esencialmente lo que estamos tratando de demostrar.

Sabemos que cuando multiplicamos números complejos multiplicamos las magnitudes y sumamos los ángulos. Entonces

[matemáticas] | z ^ n | = | z | ^ n = \ sqrt {\ left (1 + \ dfrac {\ theta ^ 2} {n ^ 2} \ right) ^ n} = \ left (1 + \ dfrac {\ theta ^ 2} {n ^ 2} \ right) ^ {\ frac {n} {2}}. [/ Math]

Es bastante fácil ver [math] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} | z | ^ n = 1 [/ math]. Los primeros dos términos en la expansión de la serie [math] | z | ^ n [/ math] son ​​[math] 1 + \ dfrac {\ theta ^ 2} {4n} + \ mathcal {O} \ left (\ dfrac { 1} {n ^ 2} \ right) [/ math], por lo que a medida que n crece, esto converge en la unidad.

Ahora veamos [matemáticas] \ ángulo z ^ n = n \ izquierda (\ arctan \ dfrac {\ theta} {n} \ derecha) [/ matemáticas]; el factor de [math] n [/ math] proviene de sumar los pequeños ángulos [math] n [/ math]. A medida que [math] n [/ math] se hace grande, [math] \ dfrac {\ theta} {n} [/ math] se vuelve pequeño, entonces [math] \ arctan \ dfrac {\ theta} {n} \ to \ dfrac {\ theta} {n}. [/ math] Entonces obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ angle z ^ n = \ lim_ {n \ to \ infty} \ n \ left (\ arctan \ frac {\ theta} {n} \ right) = \ lim_ {n \ to \ infty} \ n \ dfrac {\ theta} {n} = \ theta [/ math]

Así que hemos mostrado a medida que [math] n [/ math] crece que [math] z ^ n [/ math] se acerca a un número cuya magnitud es uno y el ángulo es [math] \ theta [/ math], entonces en el límite debe ser el número complejo [math] \ cos \ theta + i \ sin \ theta. [/ math]

Poniendolo todo junto,

[matemáticas] \ displaystyle e ^ {i \ theta} = \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1 + \ dfrac {i \ theta} {n} \ right) ^ n = \ lim_ {n \ to \ infty} z ^ n = \ cos \ theta + i \ sin \ theta [/ math]

Edición, 4/4/16: Hice un dibujo matemático sabio para ilustrar la convergencia, que es bastante lenta. Cada ruta muestra los poderes de [math] z = 1 + \ dfrac {i \ pi} {n} [/ math] para un [math] n. [/ Math] dado El último punto de cada uno está en [math] \ left (1+ \ dfrac {i \ pi} {n} \ right) ^ n [/ math] y etiquetado con [math] n [/ math]. A medida que [math] n [/ math] aumenta, esto converge a [math] -1 + 0 i [/ math].

Answer 2

• Método 1

Supongamos que

[matemáticas] y = e ^ {- ix} (\ cos x + i \ sin x) [/ matemáticas]

Ahora diferenciar ambos lados. wrt x

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = – es decir, ^ {- ix} (\ cos x + i \ sin x) + e ^ {- ix} (- \ sin x + i \ cos x) [/ matemáticas ]

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = – es decir, ^ {- ix} (\ cos x + i \ sin x) + e ^ {- ix} (i ^ 2 \ sin x + i \ cos x) [ /matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = – ie ^ {- ix} (\ cos x + i \ sin x) + ie ^ {- ix} (i \ sin x + \ cos x) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = 0 [/ matemáticas]

Esto nos dice que [math] y [/ math] es una función constante.

Además, si conectamos [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = e ^ {- i (0)} (\ cos (0) + i \ sin (0)) = 1 [/ matemáticas]

Así obtenemos

[matemáticas] e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {i \ pi} = \ cos \ pi + i \ sin \ pi = -1 [/ matemáticas]

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• Método 2

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• Método 3

(Mostrado por otras personas)

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¡Buena suerte!

Answer 3

Bien, trataremos de hacerlo lo más simple posible. Sin embargo, no puedes saltear el cálculo :(.

Deje f (x) = [matemáticas] \ cos {x} + i \ sin {x} [/ matemáticas] (Dará una prueba con la forma genérica, y luego responderá a su pregunta)

f ‘(x) = [matemática] – \ sin {x} + i \ cos {x} [/ matemática] que es [matemática] si (x) [/ matemática] (Tenga en cuenta que [matemática] i ^ 2 = – 1 [/ matemáticas])

Básicamente, tenemos una función cuya derivada es i veces misma. Espero que estés conmigo

Matemáticamente, tenemos [matemáticas] \ frac {df} {dx} = if [/ matemáticas] (Escribiendo f (x) simplemente como f)

Si reorganiza las variables, terminará con [math] \ frac {df} {f} = idx [/ math]

La integración simple da [matemáticas] \ ln {f (x)} = ix + C [/ matemáticas]

[matemáticas] f (x) = e ^ {ix + C} [/ matemáticas]

[matemáticas] f (x) = e ^ C \ veces e ^ {ix} = C_ {2} \ veces e ^ {ix} [/ matemáticas]

Ahora, la función anterior que acabamos de inventar debería ser igual a la función trigonométrica original con la que comenzamos, ¿verdad?

[matemáticas] C_ {2} \ veces e ^ {ix} = \ cos {x} + i \ sin {x} [/ matemáticas]

Esto sería cierto solo si x = 0, lo que le daría [math] C_ {2} = 1. [/ Math]

Por lo tanto, [matemáticas] f (x) = 1.e ^ {ix} = \ cos {x} + i \ sin {x} = e ^ {ix} [/ matemáticas]

Ahora, llegando a tu pregunta:

[matemáticas] e ^ {i \ pi} = \ cos {\ pi} + i \ sin {\ pi} = -1 + 0 = -1 [/ matemáticas]

Por lo tanto

[matemáticas] e ^ {i \ pi} + 1 = -1 + 1 = 0 [/ matemáticas]

Intenté mantenerlo lo más simple posible con cálculo básico. ¡Salud!

Answer 4

Pregunta: ¿Por qué [math] e ^ {i \ pi} + 1 = 0 [/ math] ?

Una manera simple de visualizar esto es usar coordenadas polares, por ejemplo, describir puntos en el espacio usando el radio desde el origen y el ángulo desde el eje real positivo (horizontal a la derecha) girando “hacia arriba”, notamos números complejos [matemática] z = re ^ {i \ theta} [/ math] donde r es el radio y [math] \ theta [/ math] el ángulo.

En radianes [math] \ theta = \ pi [/ math] es igual a [math] 180 ^ \ circ [/ math]. Ahora considere el número [math] e ^ {i0} [/ math] es 0 grados desde el eje real positivo y la distancia de 1 desde el origen, por lo tanto, 1! Entonces, si mantenemos el radio igual, 1, y giramos [matemática] 180 ^ \ circ [/ matemática] desde los 0 grados, terminaremos hasta el otro lado en el eje real horizontal. ¿Qué tenemos en el eje real negativo en la distancia de 1 desde el origen? Número -1 por supuesto!

Ahora podemos tener el resultado: [matemáticas] e ^ {i \ pi} + 1 = -1 + 1 = 0 [/ matemáticas]. Espero que esto ayude a comprender la idea subyacente.

EDITAR 10.3.2018 19:26: Por la razón por la cual podemos representar números complejos de esta manera en forma polar, lea las otras respuestas. No es necesario repetirlo aquí 😀

Answer 5

Para explicar mejor esto, es más fácil mirar la fórmula de Euler en general (esto es de donde proviene [matemáticas] e ^ i \ pi [/ matemáticas])

La fórmula de Euler es la siguiente:

[matemáticas] e ^ {ix} = cosx + i * sinx [/ matemáticas]

Esta fórmula es muy importante, ya que relaciona las ecuaciones trigonométricas con la función exponencial. simplemente enchufar pi nos da -1 (ya que cos (pi) = – 1 e i * sin (pi) = 0)

Pero, ¿por qué la función exponencial se relaciona con las funciones trigonométricas?

1. Hablando gráficamente, llevar un número a la potencia de un número imaginario es lo mismo que girar alrededor del círculo unitario. El grado de rotación se basa en el exponente. [matemáticas] e [/ matemáticas] es el número único, donde el exponente es igual a la cantidad girada alrededor del círculo. Como la mitad de un círculo es igual a una rotación de [math] \ pi [/ math], el resultado es -1.

2. Prueba usando la serie Taylor:

si x es un número real [matemáticas] e ^ x = \ sum ^ {\ infty} _ {n = 0} \ frac {x ^ n} {n!} [/ matemáticas]

ahora si tenemos un número complejo [matemática] z = a + bi [/ matemática] solo tenemos que echar un vistazo a la parte imaginaria de la ecuación ya que

[matemáticas] e ^ {a + bi} = e ^ {a} * e ^ {bi} [/ matemáticas] la parte real se convierte en un escalar de nuestro número.

así que usando la expansión Taylor y conectando un número complejo [math] bi [/ math]

[matemáticas] e ^ {bi} = 1+ \ frac {{ix} ^ 2} {2!} + \ frac {{ix} ^ 3} {3!} + \ frac {{ix} ^ 4} {4 !} +… [/ Matemáticas]

Ahora puede ver que algunas expresiones se multiplican por -1 (ya que [math] i ^ 2 = -1 [/ math])
algunos permanecen igual (ya que [matemáticas] i ^ 4 = {i ^ 2} ^ 2 = (-1) ^ 2 = 1 [/ matemáticas]) y algunos se quedan con una i.

Así que agrupemos todos esos juntos:

[matemáticas] (1- \ frac {{ix} ^ 2} {2!} + \ frac {{ix} ^ 4} {4!} – \ frac {{ix} ^ 6} {6!} + \ frac {{ix} ^ 8} {8!} – …) + i (x- \ frac {{ix} ^ 3} {3!} + \ frac {{ix} ^ 5} {5!} – \ frac { {ix} ^ 7} {7!} +…) [/ matemáticas]

Si observa la expansión de Taylor del coseno y el seno, puede notar una similitud: las expansiones son las mismas.

así que en conclusión:

[matemáticas] e ^ {ix} = cos (x) + i * sin (x) [/ matemáticas]

3. Otra prueba que funciona usando series infinitas.

[matemáticas] e ^ {ix} = r * (cos (\ theta) + i * sin (\ theta)) [/ matemáticas]

derivando ambos lados:

[matemáticas] es decir, ^ {ix} = (cos (\ theta) + i * sin (\ theta) \ frac {dr} {dx} + r (i * cos (\ theta) -sin (\ theta)) \ frac {d \ theta} {dx}. [/ math]

sustituyendo nuestra ecuación original obtenemos

[matemáticas] r * (cos (\ theta) + i * sin (\ theta)) = (cos (\ theta) + i * sin (\ theta) \ frac {dr} {dx} + r (i * cos ( \ theta) -sin (\ theta)) \ frac {d \ theta} {dx}. [/ math]

Eqating partes reales e imaginarias que obtienes

[matemáticas] \ frac {dr} {dx} = 0; \ frac {d \ theta} {dx} = 1 [/ matemáticas]

Por lo tanto, r es una constante (e igual a 1 ya que [matemática] e ^ {i0} = 1 [/ matemática]) y [matemática] \ theta [/ matemática] es x

-> por lo tanto [matemáticas] e ^ {ix} = cos (x) + i * sin (x) [/ matemáticas]

Answer 6

Fijar un plano y una dirección de rotación. Para cualquier vector [math] v [/ math] en ese plano y cualquier ángulo [math] \ theta [/ math], defina [math] R ^ {\ theta} v [/ math] como resultado de la rotación [math] ] v [/ math] por el ángulo [math] \ theta [/ math].

Tenga en cuenta que [math] R ^ {\ theta} (v + w) = (R ^ {\ theta} v) + (R ^ {\ theta} w) [/ math] (es decir, girando una suma de vectores por un ángulo fijo es la suma de girar los vectores individuales por ese ángulo), y [matemática] R ^ {\ theta_1 + \ theta_2} v = R ^ {\ theta_1} (R ^ {\ theta_2} v) [/ math] (es decir, rotar un vector por una suma de ángulos es el resultado de rotar el vector por el primer ángulo y luego rotar el resultado por el segundo ángulo). Estas propiedades justifican la notación que hemos elegido adoptar (donde parece que [math] R ^ {\ theta} v [/ math] es una función exponencial de [math] \ theta [/ math] multiplicada por [math] v [/matemáticas]).

Ahora considere lo que sucede cuando gira un vector por [math] \ epsilon [/ math] radianes, donde [math] \ epsilon [/ math] es “infinitesimalmente pequeño”. Como [math] \ epsilon [/ math] es tan pequeño, [math] R ^ {\ epsilon \; \ mathrm {rad}} v – v [/ math] será perpendicular a [math] v [/ math] (ya que las tangentes a un círculo son perpendiculares a sus radios) y tienen una magnitud igual a [math] \ epsilon v [ / math] (por la definición de radianes como relaciones de longitud de arco a radio). Esto significa [matemáticas] R ^ {\ epsilon \; \ mathrm {rad}} v – v = R ^ {90 ^ {\ circ}} \ epsilon v [/ math]; si cancelamos el factor de [math] v [/ math] y barajamos las cosas, esto significa [math] \ frac {R ^ {\ epsilon \; \ mathrm {rad}} – 1} {\ epsilon \; \ mathrm {rad}} = R ^ {90 ^ {\ circ}} / \ mathrm {rad} [/ math].

Hace mucho tiempo inventamos un lenguaje especial [alias, cálculo] para discutir la idea de [matemáticas] \ frac {B ^ {\ theta} – 1} {\ theta} [/ math] para una [matemática] \ theta infinitesimalmente pequeña [/ matemáticas]; A esto lo llamamos “[matemáticas] \ frac {d} {d \ theta} B ^ {\ theta} [/ matemáticas] en [matemáticas] \ theta = 0 [/ matemáticas]”, o incluso más directamente, “[matemáticas] \ ln (B) [/ math] “. Y así, aprovechando este lenguaje, podemos reformular lo anterior en una simple frase: [matemática] \ ln (R) = R ^ {90 ^ {\ circ}} / \ mathrm {rad} [/ math].

[Intermedio / tranquilidad: puede ser confuso hacer todas estas cosas cuando [math] R [/ math] no es un número ordinario, sino más bien un tipo particular de operación, y [math] v [/ math] no es un ordinario número pero un vector 2d, y así sucesivamente, pero es perfectamente posible hacer estas cosas de todos modos, exactamente de la misma manera que sugiere la notación. Lo único que importa son las dos propiedades que ya establecimos anteriormente, y luego todo lo demás que podemos hacer siguiendo todas nuestras reglas ordinarias en esta situación extraordinaria. Si no estuviéramos dispuestos a hacer tales saltos de analogía, no habría respuesta a la pregunta: la idea misma de exponenciación con exponentes imaginarios no está definida a priori; más bien, es mediante el uso de estas analogías que le damos una definición. Entonces, por ahora, cada vez que vea una manipulación matemática de la que no está seguro, piense “¿Esta ecuación se mantendría normalmente en el contexto de los números ordinarios?” Esa será toda la justificación que necesitamos.]

Entonces tenemos [math] \ ln (R) = R ^ {90 ^ {\ circ}} / \ mathrm {rad} [/ math]. Que en otras palabras es [matemáticas] e ^ {R ^ {90 ^ {\ circ}} / \ mathrm {rad}} = R [/ matemáticas]. Y así [matemáticas] e ^ {\ pi R ^ {90 ^ {\ circ}}} = R ^ {\ pi \; \ mathrm {rad}} = R ^ {180 ^ {\ circ}} [/ math]. Por supuesto, la rotación de 180 grados es lo mismo que la negación; tenemos que [matemática] R ^ {180 ^ {\ circ}} v = -v = (-1) v [/ matemática] para cualquier [matemática] v [/ matemática], y así, cancelando la [matemática] v [/ math], tenemos que [math] R ^ {180 ^ {\ circ}} = -1 [/ math]. Y así vemos que [matemáticas] e ^ {\ pi R ^ {90 ^ {\ circ}}} = -1 [/ matemáticas].

“¿Dónde está la [matemática] i [/ matemática]”, preguntas? Bueno, [matemáticas] (R ^ {90 ^ {\ circ}}) ^ 2 = [/ matemáticas] [matemáticas] R ^ {2 \ veces 90 ^ {\ circ}} [/ matemáticas] [matemáticas] = R ^ {180 ^ {\ circ}} = -1 [/ matemáticas]. Entonces [math] R ^ {90 ^ {\ circ}} [/ math] es una raíz cuadrada de [math] -1 [/ math], y puede llamarlo [math] i [/ math] si lo desea … Después de todo, cualquiera de las dos raíces cuadradas de [matemáticas] -1 [/ matemáticas] actúan por igual. Por lo tanto, podemos concluir con [matemáticas] e ^ {\ pi i} = -1 [/ matemáticas].

En términos más generales, tenemos que [matemáticas] e ^ {ix} = R ^ {x \; \ mathrm {rad}} [/ math]. Y como siempre podemos descomponer una rotación en sus componentes paralelos y perpendiculares a su entrada (también conocido como coseno y seno), podemos escribir más [matemáticas] e ^ {ix} = R ^ {x \; \ mathrm {rad}} [/ math] [math] = \ cos (x \; \ mathrm {rad}) + i \ sin (x \; \ mathrm {rad}) = \ mathrm {cis} (x \; \ mathrm {rad}) [/ math], como a la gente le gusta hacer … Estas son todas formas diferentes de decir “Rotación por [math] x [/ math] radianes”.

En realidad, todas estas declaraciones significan exactamente lo que las analogías anteriores hacen que signifiquen: la sustancia de todas estas declaraciones es simplemente “Al girar una flecha, la dirección en la que se mueve su extremo es, en cualquier momento, 90 grados a partir de la dirección en la que apunta la flecha “. La importancia de estos teoremas no está en las declaraciones en sí, que en cada caso es trivial después de expandir todas las definiciones relevantes, sino en la red de analogías detrás de esas definiciones, que nos permiten ver la rotación y la trigonometría a través de la misma lente como sujetos más familiares. para álgebra y cálculo.

Answer 7

Euler definió [matemáticas] {e} ^ {x} [/ matemáticas] como

[matemáticas] {e} ^ {x} = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {{\ left (1+ \ frac {x} {n} \ right)} ^ {n}} [/ math]

Como n tiende al infinito, obtenemos la serie Taylor de [matemáticas] {e} ^ {x} [/ matemáticas] como

[matemáticas] {e} ^ {x} = 1 + \ frac {x} {1! } + \ frac {{x} ^ {2}} {2! } +…. [/ Matemáticas]

Ahora, reemplace x por ix,

[matemáticas] {e} ^ {ix} = (1- \ frac {{x} ^ {2}} {2!} + \ frac {{x} ^ {4}} {4!} – …) + i (x- \ frac {{x} ^ {3}} {3!} + \ frac {{x} ^ {5}} {5!} – …) [/ matemáticas]

[matemáticas] {e} ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x [/ matemáticas]

Reemplace x por pi,

[matemáticas] {e} ^ {i \ pi} + 1 = 0 [/ matemáticas]

Answer 8

Para comprender adecuadamente esa ecuación, uno debe estar familiarizado con los pasos dados para definir la función exponencial en el plano complejo.

Después de que se hayan discutido las propiedades preliminares del plano complejo (módulo, desigualdad de triángulo, partes reales e imaginarias, etc.), se muestra que cada número complejo se puede escribir como [matemáticas] z = r (\ cos (\ varphi) + i \ sin (\ varphi)) [/ math], esencialmente estas son solo coordenadas polares. Por inducción, se obtiene la fórmula de de Moivre: [matemática] (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi) ^ n = \ cos (n \ varphi) + i \ sin (n \ varphi) [/ math]. [matemáticas] [/ matemáticas]

Luego se define la convergencia de secuencias de números complejos de una manera similar a la del caso [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math]. No es difícil mostrar que la serie de Taylor para la función exponencial, así como las del seno y el coseno, convergen cuando el argumento real (es decir, la variable) se reemplaza por uno complejo. La razón por la que esto se define como tal es porque naturalmente extiende el dominio de la función exponencial REAL a los números complejos sin alterar sus valores en la línea real como un subconjunto de los números complejos.

Al utilizar el teorema de multiplicación de Cauchy, por ejemplo, el teorema de suma para el exponencial complejo [matemático] (\ exp (z + w) = \ exp (z) \ exp (w)) [/ matemático] puede probarse directamente a partir de su definición y al comparar la serie de Taylor resultante, se obtiene la fórmula [matemáticas] \ exp (iz) = \ cos (z) + i \ sin (z) [/ matemáticas]. Entonces, la fórmula ‘famosa’ sigue directamente cuando uno toma [math] z = \ pi [/ math].

Los resultados anteriores con la fórmula de Moivre explican la intuición detrás de la función exponencial en [math] \ mathbb {C} [/ math]: es una escala por el exponencial real de la parte real y una rotación sobre la parte imaginaria de su argumento. Cuando se aborda de esta manera, debe ser evidente que el producto de ‘1’ y [math] \ exp (i \ pi) [/ math] debería tener [math] -1 [/ math] como resultado, porque es el rotación del punto [math] 1 \ in \ mathbb {C} [/ math] sobre un ángulo de [math] \ pi [/ math] radianes, es decir, [math] 180 ^ \ circ. [/ math]

Answer 9

Antes de llegar al “por qué”, primero voy a responder el “qué”, específicamente, “qué es [matemáticas] e [/ matemáticas]” y “qué es [matemáticas] \ pi [/ matemáticas]”.

Veamos las dos ecuaciones diferenciales [matemáticas] f ‘- cf = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] g’ ‘+ g = 0 [/ matemáticas], dos ecuaciones diferenciales muy simples de primer y segundo orden.

Se necesita algo de trabajo, pero no necesariamente mucho, para ver que las soluciones a la primera ecuación deben tener la forma de una función exponencial [matemáticas] f (x) = ae ^ {cx} [/ matemáticas] para alguna constante [ matemática] e [/ matemática], que un poco de trabajo demostraría ser aproximadamente [matemática] e \ aproximadamente 2.718281828 [/ matemática]. Los teoremas de existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales básicamente dicen que esa familia de soluciones es la única.

Para la segunda ecuación, las cosas se complican: para una cosa, los teoremas de existencia y unicidad dicen que hay dos soluciones independientes, y todas las demás soluciones son combinaciones lineales de esas dos. Entonces, no podemos encontrar uno, necesitamos encontrar dos soluciones. Es un poco complicado, pero podemos mostrar que [math] g [/ math] tiene que ser periódico, y todas las funciones que satisfacen [math] g ” + g = 0 [/ math] tienen que tener el mismo período, que puede (con algo de esfuerzo adicional) ser [math] 2 \ pi \ approx 6.28 [/ math].

¿Pero cuáles son estas funciones? Una cosa a tener en cuenta es que las funciones sinusoidales [matemáticas] \ sin \ theta, \ cos \ theta [/ matemáticas] satisfacen las condiciones. Entonces [math] g (x) = A \ sen x + B \ cos x [/ math] satisface las condiciones.

Sin embargo, si volvemos a la ecuación diferencial de definición para [math] e [/ math], es decir, el resultado de que [math] f’-cf = 0 [/ math] y diferenciamos de nuevo, obtenemos [math] f ” -cf ‘= f’ ‘- c (cf) = f’ ‘- c ^ 2f = 0 [/ math], puede equiparar eso con la ecuación diferencial para [math] g [/ math], y obtener [math] c ^ 2 = -1 [/ math], o [math] c = \ pm i [/ math], entonces [math] g = e ^ {\ pm ix} [/ math] como posibles soluciones. La diferenciación formal [matemática] g [/ matemática] parece funcionar: [matemática] (e ^ {\ pm ix}) ” = (\ pm ie {\ pm ix}) ‘= -e ^ {\ pm ix} [ /matemáticas].

Eso aún no significa que [matemáticas] e ^ {i \ pi} +1 = 0 [/ matemáticas], pero el siguiente paso es darse cuenta de que ahora tenemos dos conjuntos diferentes de pares de soluciones independientes para la ecuación diferencial, [math] (e ^ {ix}, e ^ {- ix}) [/ math] y [math] (\ sen x, \ cos x) [/ math], por lo que vale la pena resolverlo para un conjunto en términos de otro. En otras palabras, debemos intentar resolver [matemáticas] e ^ {ix} = a \ sen x + b \ cos x [/ matemáticas] para [matemáticas] a, b [/ matemáticas]. La manera fácil de hacerlo es lidiar con el caso simple, [math] x = 0 [/ math]. Eso nos da [matemáticas] e ^ 0 = 1 = a \ sin 0 + b \ cos 0 = a (0) + b (1) = b [/ matemáticas], y tomando la derivada de ambos lados, [matemáticas] es decir, ^ 0 = i = a \ cos 0 – b \ sin 0 = a (1) = b (0) = a [/ math].

De este modo, hemos derivado la “Fórmula de Euler”: [matemáticas] e ^ {ix} = \ cos x + i \ sinx [/ matemáticas].

A partir de ahí, podemos simplemente enchufar [math] x = \ pi [/ math] para obtener [math] e ^ {ix} = \ cos \ pi + i \ sin \ pi = -1 + 0i = -1 [/ matemáticas].

Answer 10

Una forma potencial es usar series de potencia. Esto requiere un conocimiento de las series taylor e infinitas, pero es la prueba más simple y probablemente más accesible. Si no sabe qué es una serie de Taylor, es básicamente una suma infinita de términos que se suman a la función original y la igualan.

Primero, la identidad de Euler ([matemática] e ^ {i \ pi} [/ matemática] [matemática] = -1 [/ matemática]) se deriva de la fórmula [matemática] e ^ {ix} = sin (x) + icos (x) [/ math], evaluado en [math] \ pi [/ math].

Para derivar esto, comencemos con la expansión de la serie Taylor de [math] e ^ z [/ math]. Tenga en cuenta que estoy usando “z” porque z se usa generalmente para denotar un número complejo, verá por qué eso es importante más adelante:

[matemáticas] e ^ z = 1 + z + \ frac {z ^ 2} {2!} + \ frac {z ^ 3} {3!} + \ frac {z ^ 4} {4!} +… [/ matemáticas ]

Ahora conectemos [math] ix [/ math] para [math] z [/ math]:

[matemáticas] e ^ {ix} = 1 + ix + \ frac {(ix) ^ 2} {2!} + \ frac {(ix) ^ 3} {3!} + \ frac {(ix) ^ 4} { 4!} +… [/ Matemáticas]

Esto se simplifica a: (Nota: estoy agregando términos adicionales aquí para mostrar mejor el patrón)

[matemáticas] e ^ {ix} = 1 + ix- \ frac {x ^ 2} {2!} – i \ frac {x ^ 3} {3!} + \ frac {x ^ 4} {4!} + i \ frac {x ^ 5} {5!} – \ frac {x ^ 6} {6!}… [/ math]

Los términos imaginarios se pueden dividir de los otros términos, dándonos

[matemáticas] ix-i \ frac {x ^ 3} {3!} + i \ frac {x ^ 5} {5!}… [/ matemáticas]

Si [math] i [/ math] está factorizado, esta es la expansión de la serie de potencia de [math] cos (x) [/ math], por lo que la serie anterior es igual a [math] icos (x) [/ math] .

Después de sacar los términos imaginarios de la secuencia original, nos quedamos con:

[matemáticas] = 1- \ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 4} {4!} – \ frac {x ^ 6} {6!}… [/ matemáticas]

Esta es la serie de potencia de [math] sin (x) [/ math].

Cuando sumamos las dos series de potencia que encontramos, son iguales a [math] e ^ {ix} [/ math], por lo que esto prueba que [math] e ^ {ix} = sin (x) + icos (x) [/ matemáticas].

Answer 11

Hay varias pruebas.

Mostraré la prueba de la serie de potencia.

Si [math] f (x) [/ math] es una función analítica (real) en una vecindad de [math] a [/ math], entonces:

1. [math] f ‘(x) [/ math] existe y es analítico en [math] a [/ math].
2. Por lo tanto, [math] f ^ {(n)} (x) [/ math] (la derivada [math] n [/ math] th) existe y es analítica en [math] a [/ math].
3. [matemáticas] f (x) = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!} (xa) ^ n [/ math].

Particularmente, si [math] f (x) [/ math] es analítico en [math] 0 [/ math], entonces [math] \ begin {ecation}
f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {f ^ {(n)} (0)} {n!} x ^ n
\ end {ecuación} [/ matemáticas]

---

Por definición de [matemáticas] i [/ matemáticas], tenemos que [matemáticas] i ^ 2 = -1 [/ matemáticas], y como consecuencia [matemáticas] i ^ 3 = -i, i ^ 4 = 1 [/ matemáticas ] En general: [matemática] i ^ {2n} = (- 1) ^ n [/ matemática] y [matemática] i ^ {2n + 1} = (- 1) ^ ni [/ matemática].

---

Comparemos estas tres funciones: [matemáticas] \ exp [/ matemáticas], [matemáticas] \ cos [/ matemáticas], [matemáticas] \ sin [/ matemáticas].

Independientemente de cómo los defina, puede llegar a la conclusión de que [matemáticas] \ exp’x = \ exp x [/ matemáticas], y que [matemáticas] \ cos’x = – \ sen x [/ matemáticas], y [ math] \ sin’x = \ cos x [/ math], por lo tanto [math] \ cos”x = – \ cos x [/ math] y [math] \ sin”x = – \ sin x [/ matemáticas].

Por otro lado, puede probar que, para cualquier número entero positivo [math] n [/ math], [math] \ exp nx = (\ exp x) ^ n [/ math]; o por otras propiedades, para [math] q \ in \ mathbb Q [/ math], luego [math] \ exp q = (\ exp1) ^ q [/ math]. Definiendo [math] e [/ math] como [math] e = \ exp 1 [/ math], luego [math] \ exp q = e ^ q [/ math], y el resultado se generaliza para cualquier real [math] x [/ math]: [math] \ exp x = e ^ x [/ math].

Entonces, dado que [math] \ exp [/ math] es analítico en [math] 0 [/ math], y que [math] \ exp’x = \ exp x [/ math], entonces [math] \ exp ^ {(n)} x = \ exp x [/ math], y particularmente [math] \ exp ^ {(n)} 0 = \ exp0 = 1 [/ math]. Por lo tanto: [matemáticas] \ begin {ecation}
\ exp x = e ^ x = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {x ^ n} {n!} = 1+ \ frac {x} {1!} + \ frac {x ^ 2} { 2!} + \ Frac {x ^ 3} {3!} + \ Cdots
\ end {ecuación} [/ matemáticas]

Del mismo modo, [math] \ sin [/ math] y [math] \ cos [/ math] son ​​analíticas en [math] 0 [/ math] y [math] \ cos0 = 1 [/ math] y [math] \ sin0 = 0 [/ matemática]. Con las identidades que [math] \ sin’x = \ cos x [/ math] y [math] \ cos’x = – \ sin x [/ math], entonces: [math] \ begin {align}
\ cos x & = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ n} {(2n)!} x ^ {2n} = 1- \ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 4} {4!} – \ frac {x ^ 6} {6!} + \ cdots \\
\ sin x & = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ n} {(2n + 1)!} x ^ {2n + 1} = x- \ frac {x ^ 3} { 3!} + \ Frac {x ^ 5} {5!} – \ frac {x ^ 7} {7!} + \ Cdots
\ end {align} [/ math]

Ahora. ¿Qué sucede si ampliamos [matemáticas] \ exp [/ matemáticas] a los números complejos. Comencemos con el imaginario: [matemáticas] \ begin {align}
\ exp ix = e ^ {ix} & = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {(ix) ^ n} {n!} \\
& = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {i ^ n} {n!} x ^ n \\
& = 1 + i \ frac {x} {1!} – \ frac {x ^ 2} {2!} – i \ frac {x ^ 3} {3!} + \ Frac {x ^ 4} {4! } + i \ frac {x ^ 5} {5!} – \ frac {x ^ 6} {6!} – i \ frac {x ^ 7} {7!} + \ cdots \\
& = \ Bigl (1- \ frac {x ^ 2} {2!} + \ Frac {x ^ 4} {4!} – \ frac {x ^ 6} {6!} + \ Cdots \ Bigr) + i \ Bigl (\ frac {x} {1!} – \ frac {x ^ 3} {3!} + \ Frac {x ^ 5} {5!} – \ frac {x ^ 7} {7!} + \ cdots \ Bigr) \\
& = \ cos x + i \ sin x
\ end {align} [/ math]

Entonces: [matemáticas] \ boxed {e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x} [/ math]

Ahora: conecte los valores para [math] x = \ pi [/ math]:

[matemáticas] \ begin {ecation} e ^ {i \ pi} = \ cos \ pi-i \ sin \ pi = -1 \ end {ecuación} [/ math]

Answer 12

Debido a que gira un punto en sentido antihorario en el círculo unitario [matemática] S ^ 1: = \ {(x, y [/ matemática]) [matemática] | [/ matemática] [matemática] x ^ {2} + y ^ {2} = 1; x, y \ in \ mathbb {R} \} [/ math] por [math] \ pi [/ math] radianes traduce el punto original a la mitad de [math] S ^ 1 [/ math].

---

Considere la propiedad familiar de los exponentes que [math] e ^ {x + y} = e ^ {x} e ^ {y} [/ math]. Entonces, si [matemática] \ Phi = \ varphi_ {1} + \ varphi_ {2} + \ cdots + \ varphi_ {n} = 0 [/ matemática] [matemática], [/ matemática] tenemos [matemática] e ^ { i (\ theta + \ Phi)} = e ^ {i \ theta} e ^ {i \ Phi} = e ^ {i \ theta} [/ math].

Suponga que [math] \ theta = \ Phi = \ pi / 2 \ Rightarrow e ^ {i (\ theta + \ Phi)} + 1 = 0 [/ math]. Esto corresponde a comenzar en [matemáticas] \ pi / 2 [/ matemáticas] y rotar solo una cuarta parte de [matemáticas] S ^ 1 [/ matemáticas] dejándonos con la ecuación como antes, pero esperaba ilustrar cómo [matemáticas] \ pi [/ math] estar en el argumento es solo un pequeño ejemplo (de un número incontable infinito). Cada uno de esos ángulos sumados en el argumento de la exponencial corresponde a una rotación literal de [math] S ^ 1 [/ math].

---

De forma análoga, tome un vector unitario en [math] \ mathbb {R} ^ {2} [/ math] y gírelo en sentido antihorario (puede hacerlo actuando sobre dicho vector con una matriz). Las matrices que transforman vectores de esta manera son elementos de un grupo llamado literalmente el grupo de rotación (también conocido como ortogonal especial) en 2 dimensiones, [math] SO_ {2} (\ mathbb {R}) [/ math]. Este conjunto de matrices con multiplicación matricial es en un sentido particular equivalente (isomorfo) a los números complejos unitarios bajo multiplicación compleja.

Answer 13

Bueno, espero que esta imagen explique mejor.

Fuente de la imagen: identidad de Euler (Wikipedia 😉)

La fórmula de Euler describe dos formas equivalentes de moverse en un círculo. Se trata solo de dar vueltas.

Lea esta publicación, Comprensión intuitiva de la fórmula de Euler

Primero debe comprender por qué, para un número complejo [matemática] z [/ matemática], [matemática] z = x + iy [/ matemática] y [matemática] z = re ^ {i \ theta} [/ matemática], donde [math] x = r \ cos \ theta [/ math] y [math] y = r \ sin \ theta [/ math] – son equivalentes. Euler Formula – de Wolfram MathWorld

[matemáticas] \ pi [/ matemáticas] es [matemáticas] 180 [/ matemáticas] grados

[matemática] -1 [/ matemática] está [matemática] 180 [/ matemática] grados lejos de [matemática] 1 [/ matemática], alrededor del origen del plano complejo

[matemáticas] e ^ {0i} [/ matemáticas] es [matemáticas] 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {i \ theta} [/ matemáticas] es un punto en el círculo unitario alrededor del origen del plano complejo.

La exponenciación compleja con otras bases también es rotación alrededor del círculo de la unidad. [matemáticas] 2 ^ {ix} [/ matemáticas] también traza un círculo a medida que variamos [matemáticas] x [/ matemáticas]. Sin embargo, para otras bases, [matemáticas] x [/ matemáticas] no es un ángulo medido en radianes. Entonces [math] 2 ^ {i \ pi} [/ math] no es [math] -1 [/ math].

Esta correspondencia entre radianes y coeficiente es verdadera solo para el número especial [math] e [/ math], que está intrínsecamente conectado al número especial [math] \ pi [/ math] de múltiples maneras.

[math] e ^ x [/ math] se define como el valor límite de [math] (1 + x / n) ^ n [/ math].

[math] cos [/ math] y [math] sin [/ math] se definen como funciones circulares (como parámetros de longitud de arco para coordenadas de un círculo unitario)

Entonces, tenemos [matemáticas] e ^ {ix} = (1 + (ix / n)) ^ n [/ matemáticas]
y hemos estudiado que [math] (cos (x) + i sin (x)) [/ math] es literalmente el número complejo trazado en [math] (cos (x), sin (x)) [/ math] en el avión.

[matemáticas] | 1 + ix / n | = (1 + (x / n) ^ 2) ^ {1/2} [/ matemáticas]

El módulo de potencia [matemática] n ^ {th} [/ matemática] es igual a
[matemáticas] = (1 + (x / n) ^ 2) ^ {n / 2} [/ matemáticas]

La secuencia,
[matemáticas] (1 + (x / n) ^ 2) ^ {1/2} [/ matemáticas], [matemáticas] (1 + (x / n) ^ 2) ^ {2/2} [/ matemáticas], [matemáticas] (1 + (x / n) ^ 2) ^ {3/2} [/ matemáticas], [matemáticas]… [/ matemáticas]

no disminuye porque es una secuencia geométrica con multiplicador 1 o mayor. Entonces, cada multiplicación sucesiva de [matemáticas] 1 + (ix / n) [/ matemáticas] se está expandiendo, y esto sucede desde el triángulo rectángulo inicial [matemáticas] (0,0), (1,0) y (1, x / n) [/ matemáticas]. Por lo tanto, se trata de definir en qué parte del círculo [matemáticas] e ^ {ix} [/ matemáticas] debe estar: es el punto alcanzado por la distancia de viaje [matemáticas] x [/ matemáticas] en sentido antihorario a lo largo del círculo que comienza en [matemáticas] (1,0) [/ matemáticas]. si recuerda las definiciones de [math] sin [/ math] y [math] cos [/ math], en algún lugar anterior, es seguro que las coordenadas de esta ubicación límite son [math] (cos (x), sin (x )) [/ math], y hemos terminado.

[matemáticas] e ^ {i \ pi} = -1 [/ matemáticas]

Answer 14

Teorema (Euler): Para todos [matemáticas] \ theta \ in \ C, [/mathfont>[mathicsofte^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.[/math]

Prueba:

Deje que la función [math] f: \ C \ mapsto \ C [/ math] esté dada por [math] f (\ theta) = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {df (\ theta)} {d \ theta} = – \ sin (\ theta) + i \ cos (\ theta) = i \ big (\ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta) \ big) = if (\ theta)} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle {\ Rightarrow \ frac {df (\ theta)} {d \ theta} = if (\ theta)} [/ math]

Como esta ecuación diferencial es de primer orden, solo existe una familia de soluciones que la satisface. Al resolver esta ecuación diferencial, obtenemos:

[math] f (\ theta) = Ce ^ {i \ theta} \ text {, donde C es algo constante} [/ math]

Como [matemática] f (0) = 1, C = 1 [/ matemática].

Por lo tanto, [matemáticas] e ^ {i \ theta} = \ cos \ theta + i \ sin \ theta [/ math]

Es absolutamente esencial comprender la naturaleza y el significado de este resultado. Es profundamente importante, tanto en matemática pura como en sus aplicaciones, y su belleza radica en el hecho de que proporciona, en una ecuación de una línea de una sola variable, no menos, una conexión fundamental inimaginablemente profunda entre álgebra, geometría y análisis. .

Es hermoso e importante por derecho propio, y el hecho de que se pueda probar con tanta facilidad es increíble. De hecho, se encuentra entre las joyas de la corona de las matemáticas.

Ahora, poniendo [math] \ theta = \ pi [/ math], obtenemos:

[matemáticas] e ^ {i \ pi} = – 1 [/ matemáticas]

[math] \ displaystyle {\ Rightarrow e ^ {i \ pi} + 1 = 0} [/ math]

[matemáticas] \ text {QED} [/ matemáticas]

Answer 15

Me encanta su curiosidad intelectual, incluso si esto no se enseña en la escuela, esto es algo con lo que me relaciono mucho, ¡a veces solo deseo que se enseñen algunas cosas en la escuela! En resumen, esta es una propiedad de números complejos.

A partir de su pregunta, supondré que no está realmente familiarizado con los números complejos (lo siento si me equivoco). i se define como la raíz cuadrada de -1, que pertenece a un conjunto de números que no ve en su línea numérica promedio, llamados números complejos.

Soy bastante mierda explicando cosas, pero te dirigiré y te daré una idea rápida de lo que se trata todo esto. En resumen, los números reales son un subconjunto de números complejos, que contienen 0i. (los números complejos se pueden dar en la forma x + yi). Como resultado, solo puede expresar números complejos en un diagrama de diagrama, que tiene un eje x de los números reales y el eje y correspondiente a la parte imaginaria (y en este caso).

Ahora, como aprenderá más adelante, la forma x + yi se llama forma cartesiana y no es muy conveniente para operar en números complejos. Como resultado, a veces los expresamos en forma polar, donde cualquier número complejo z = r (cos {theta} + i * sin {theta}), donde r es la longitud de la distancia más corta entre el origen y el punto. theta es el ángulo entre el eje xy la línea que conecta el origen con el punto correspondiente al número complejo.

No entraré en detalles sobre la relación entre re ^ i {theta} yr (cos {theta} + i * sin {theta}) pero puedes buscar eso, se llama forma de Euler.

Por lo tanto, puede imaginar que cuando el ángulo es {pi}, la línea que une el origen al punto es paralela al eje x del diagrama Argand, lo que significa que no hay una parte real. cuando r = 1. entonces e ^ i {pi} = cos {pi} + i * sin {pi}, que desde tus ángulos especiales, es -1.

¡Espero que esto ayude! Avísame si tienes algún problema 🙂

Answer 16

Gracias por A2A.

Como muchos han mencionado la fórmula de Euler, aquí hay una forma conceptual de pensar sobre esto en términos de Vector .

Un número complejo [matemático] z = x + iy [/ matemático] puede verse como un vector que señala desde el origen a [matemático] (x, y) [/ matemático] en el plano complejo, donde el eje y es el eje imaginario y el eje x es el eje real.

Tratando los números complejos como vectores, se pueden agregar por componentes como si se tratara de vectores reales.

Más interesante es que, un número complejo también se puede expresar en su forma polar [matemáticas] z = re ^ {i \ theta} [/ matemáticas], donde [matemáticas] r [/ matemáticas] es la magnitud y [matemáticas] \ theta [/ math] es el ángulo en radianes contando en sentido antihorario desde el eje x.

Entonces, para rotar [math] z_0 = r_0e ^ {i \ theta_0} [/ math] por [math] \ alpha [/ math] (radian), podemos hacer una multiplicación por [math] e ^ {i \ alpha} [ / math]: [math] z_1 = z_0 \ cdot e ^ {i \ alpha} = r_0e ^ {i (\ theta_0 + \ alpha)} [/ math]

(¿Ves? La magnitud no cambia y el ángulo cambia)

Un círculo completo es [matemática] 2 \ pi [/ matemática], y la rotación de medio círculo es [matemática] \ pi [/ matemática]. Recordar [math] z = x + iy [/ math], rotar [math] \ pi [/ math] significa que tanto el componente x como el componente y tienen su signo cambiado (dibuje en un papel para obtener una mejor ilustración si es necesario )

Entonces sabemos que multiplicar [matemáticas] e ^ {i \ pi} [/ matemáticas] está teniendo el mismo resultado que multiplicar -1.

Por lo tanto, tenemos [matemáticas] e ^ {i \ pi} = – 1 [/ matemáticas] y esperamos que esto responda el “por qué” en la pregunta 🙂

Answer 17

Deje z = cosx + isinx

Entonces iz = -sinx + icosx

También dz / dx = -sinx + icosx

Entonces dz / dx = iz

Resolver cuál obtenemos ln (z) = ix + c

Sabemos que en x = 0, z es 1.

Poniendo esto en nuestra solución obtenemos c = 0.

Entonces ln (z) = ix

O e ^ ix = z.

Entonces obtenemos e ^ ix = cos x + isin x

Poniendo x = π, obtenemos

e ^ iπ = -1

O e ^ iπ + 1 = 0, que es su respuesta.

Answer 18

Tome la serie de potencia para [matemáticas] f (x) = e ^ x [/ matemáticas]:

[matemáticas] e ^ x = 1 + x + \ frac {1} {2!} x ^ 2 + \ frac {1} {3!} x ^ 3 + \ frac {1} {4!} x ^ 4 + \ frac {1} {5!} x ^ 5 +… [/ matemáticas]

y la serie de potencia para [math] cos (x) [/ math] y [math] sin (x) [/ math]:

[matemáticas] cos (x) = 1 – \ frac {1} {2!} x ^ 2 + \ frac {1} {4!} x ^ 4 – \ frac {1} {6!} x ^ 6 -… [/matemáticas]

[matemáticas] sin (x) = x- \ frac {1} {3!} x ^ 3 + \ frac {1} {5!} x ^ 5 – \ frac {1} {7!} x ^ 7 +… [/matemáticas]

Ahora, configure [math] x = ix [/ math] y colóquelo en la serie para [math] e ^ x [/ math]:

[matemáticas] e ^ {ix} = 1 + ix – \ frac {1} {2!} x ^ 2 – i \ frac {1} {3!} x ^ 3 + \ frac {1} {4!} x ^ 4 + i \ frac {1} {5!} X ^ 5 +… [/ matemáticas]

Luego observe las siguientes expansiones para [math] cos (x) [/ math] y [math] i \ sin (x) [/ math] (la expansión cos (x) no ha cambiado desde antes, pero la he incluido para pulcritud):

[matemáticas] cos (x) = 1 – \ frac {1} {2!} x ^ 2 + \ frac {1} {4!} x ^ 4 – \ frac {1} {6!} x ^ 6 -… [/matemáticas]

[matemáticas] i \ sin (x) = ix -i \ \ frac {1} {3!} x ^ 3 + i \ \ frac {1} {5!} x ^ 5 – i \ \ frac {1} { 7!} X ^ 7 + .. [/ matemáticas]

Ahora claramente

[matemáticas] cos (x) + i \ sin (x) = 1 – \ frac {1} {2!} x ^ 2 + \ frac {1} {4!} x ^ 4 – \ frac {1} {6 !} x ^ 6 + ix -i \ \ frac {1} {3!} x ^ 3 + i \ \ frac {1} {5!} x ^ 5 – i \ \ frac {1} {7!} x ^ 7 +… [/ matemáticas]

que reorganiza a:

[matemáticas] cos (x) + i \ sin (x) = 1 + ix – \ frac {1} {2!} x ^ 2 – i \ \ frac {1} {3!} x ^ 3 + \ frac { 1} {4!} X ^ 4 + i \ \ frac {1} {5!} X ^ 5 – \ frac {1} {6!} X ^ 6 – i \ \ frac {1} {7!} X ^ 7 +… = e ^ {ix} [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] e ^ {ix} = cos (x) + i \ sin (x) [/ matemáticas]

Ahora solo necesitamos establecer [math] x = \ pi [/ math] para obtener:

[matemáticas] e ^ {i \ pi} = cos (\ pi) + i \ sin (\ pi) = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {i \ pi} = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {i \ pi} +1 = 0 [/ matemáticas]

y ya hemos terminado.

Answer 19

No me importa la presentación [matemáticas] e ^ {\ pi i} + 1 = 0 [/ matemáticas] por todo lo que se habla de la belleza de la expresión. Se ha destilado tanto que toda la relevancia se ha eliminado.

[matemáticas] e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x [/ matemáticas] es la identidad de Euler. Por lo general, se enseña a los estudiantes de cálculo, pero se puede probar sin cálculo. Se vuelve indispensable en el análisis complejo, pero generalmente solo se da como una definición, sin derivación.

La idea sin cálculo (de forma manual)

[matemáticas] e = \ lim_ \ límites {n \ to \ infty} (1+ \ frac 1n) ^ n [/ matemáticas]

Y aquí ya estoy usando vocabulario de cálculo. La expresión de la derecha tiene un límite superior y, a medida que [math] n [/ math] se hace grande, se acerca a este límite superior. Este es el concepto de [matemáticas] e [/ matemáticas] que Bernoulli descubrió cuando observaba el cálculo del interés compuesto.

[matemáticas] \ lim_ \ limits {n \ to \ infty} (1+ \ frac xn) ^ {n} = \ lim_ \ limits {n \ to \ infty} (1+ \ frac 1n) ^ {nx} = e ^ x [/ matemáticas]

La multiplicación de números complejos … crea un tipo interesante de rotación en el plano complejo.

[matemáticas] (\ cos \ theta + i \ sin \ theta) (\ cos \ phi + i \ sin \ phi) = \ cos \ theta \ cos \ phi – \ sin \ theta \ sin \ phi + i (\ sin \ theta \ cos \ phi + \ cos \ theta \ sin \ phi) = \ cos (\ theta + \ phi) + i \ sin (\ theta + \ phi) [/ math]

Cuando multiplicamos números complejos, agregamos los argumentos (ángulos en la representación de estos números en el plano complejo)

A medida que n se hace más grande, la serie de segmentos de línea comienza a acostarse en el círculo unitario. Y a medida que n llega al infinito, se encuentra en el círculo unitario. Y un punto en el círculo unitario en el plano complejo es [matemáticas] \ cos x + i \ sen x [/ matemáticas]

La forma ultra ondulada de la mano.

Defina la función [math] \ text {cis} (x) = \ cos x + i \ sin x [/ math] y como vimos anteriormente. [matemáticas] \ text {cis} (x + y) = \ text {cis} (x) \ text {cis} (y) [/ math]

Una función que convierte los problemas de suma en problemas de multiplicación es una propiedad de la función exponencial. Realmente no conocemos la base, pero eso no es tan importante.

Y decimos [math] \ text {cis} (x) = \ exp (ix) [/ math] donde exp es una función exponencial.

Answer 20

primero la respuesta general

sabiendo que [matemáticas] e ^ x = x ^ 0/0! + x ^ 1/1! + x ^ 2/2! + x ^ 3/3! …[/matemáticas]

y

[matemáticas] i ^ {x \ bmod 4 = 1} = i [/ matemáticas]

[matemáticas] i ^ {x \ bmod 4 = 2} = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] i ^ {x \ bmod 4 = 3 [/ matemáticas] [matemáticas]} = -i [/ matemáticas]

[matemáticas] i ^ {x \ bmod 4 = 0} = 1 [/ matemáticas]

sabemos que [matemáticas] e ^ {ix} = 1 + ix + -1x ^ 2/2 + -ix ^ 3/6… [/ matemáticas]

[matemáticas] = (1 – x ^ 2/2 + x ^ 4/24 – x ^ 6/720 …) + i (x – x ^ 3/6 + x ^ 5/120 …) = cos (x) + sin (x) [/ matemáticas]

ahora pongamos π en la ecuación.

[matemáticas] e ^ {πi} = cos (π) + i × sin (π) = -1 [/ matemáticas]

La segunda respuesta es menos escéptica, pero explica la lógica detrás de esto.

primero puede preguntarse qué significa realmente elevar un número a un número imaginario.

hay muchas pistas que nos han dejado las matemáticas, usaré solo las que conozco:

1 y 2) recuerde que [matemáticas] i [/ matemáticas] es la raíz cuadrada de -1

y [matemáticas] x ^ {y × z} = (x ^ y) ^ z [/ matemáticas]

entonces [matemáticas] x [/ matemáticas] [matemáticas] ^ {i × i} = (x ^ i) ^ i = x ^ {- 1} [/ matemáticas]

3) [matemática] 1 ^ i [/ matemática] debe ser igual a [matemática] 1 [/ matemática], porque [matemática] 1 [/ matemática] elevada a cualquier cosa excepto infinito es siempre [matemática] 1 [/ matemática]

4 y 5 y 6) rastear un número a una potencia positiva da una multiplicación empaquetada como [matemática] 2 ^ 4 = 2 × 2 × 2 × 2 [/ matemática] ([matemática] 4 [/ matemática] veces) mientras eleva un número a un poder negativo da 1 dividido por el valor absoluto base de los tiempos de poder. como [matemática] 2 ^ -4 = 1/2/2/2/2 (4 veces) [/ matemática], y rastear un número por [matemática] 0 [/ matemática] siempre da [matemática] 1 [/ matemática] .

7) elevar un número por [math] -i [/ math] debe ser diferente a rasingar un número por [math] i, [/ math] porque [math] x ^ {- i} = x ^ {- 1 × i } = 1 / {x ^ i} [/ matemáticas]

así que la pregunta es qué sucede al elevar un número por i, bueno, no puede ser algo relacionado con la multiplicación ni la división directamente como pistas 4 y decir, pero debe hacer algo como las pistas 7 y 1, por lo que lo único que queda es cambiando la magnitud del número (de 0 -> i) si es un número real, puede buscar en Google los temas “plano complejo”, “magnitud de números complejos y valor absoluto”, o aprender en general sobre números complejos para saber qué es magnificado.

a partir de la pista 3, estamos seguros de que el cambio en la magnitud del resultado depende de una escala logarítmica a un número cartiano (ese número mágico es [matemáticas] e [/ matemáticas], no sé exactamente por qué en el momento de escribir esto respuesta.) y el complitian del período de e elevado por el eje de imagen depende de otro número mágico (ese número es 2π, rasing e por πi es un período medio, -1 es un período medio y 1 es uno completo, nuevamente I No sé por qué este número en perticular.)

así que usando este algoritmo, comprobaré si lo que dije es verdadero usando la pista 2 y [math] e ^ i [/ math].

[matemáticas] e ^ {i × i} = (e ^ i) ^ i = e ^ {ln (e ^ i) × i} [/ matemáticas]

(si lo que dije es cierto, entonces el resultado debería ser [matemática] 1 / e [/ matemática]) [matemática] = e ^ {i × i} = e ^ {- 1} = 1 / e [/ matemática]

Espero que te haya ayudado.