Cómo calcular [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {2n} {3 ^ {n + 1}} [/ matemáticas]

Answer 1

Primero resolvamos la forma general

[matemáticas] \ displaystyle S (x, a, b) = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {an} {bx ^ {n + 1}} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {-a} {b} \ dfrac {d} {dx} \ left (\ dfrac {1} {x ^ {n}} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ dfrac {-a} {b} \ dfrac {d} {dx} \ left (\ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {1} {x ^ {n}} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ dfrac {-a} {b} \ dfrac {d} {dx} \ left (\ dfrac {1} {x} \ left (\ dfrac {1} {1 – \ frac {1} {x}} \ right) \ right) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ dfrac {-a} {b} \ dfrac {d} {dx} \ left (\ dfrac {1} {x – 1} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ dfrac {-a} {b} \ left (\ dfrac {-1} {(x – 1) ^ 2} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica S (x, a, b) = \ dfrac {a} {b (x – 1) ^ 2} [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {2n} {3 ^ {n + 1}} = S (3,2,1) = \ dfrac {2} {( 3 – 1) ^ 2} = \ dfrac {1} {2} [/ matemática]

Answer 2

Puede resolver problemas de este tipo de manera más general. Comience con [math] \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} z ^ k = \ frac {1} {1-z} [/ math] if [math] | z | <1 [/ math]. Esa es una serie geométrica y un resultado bien conocido. Ahora considere la derivada de ambos lados. Obtiene [math] \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} kz ^ {k-1} = \ frac {1} {(1-z) ^ 2} [/ math]. Reescribe esto como [math] \ sum_ {j = 0} ^ {\ infty} (j + 1) z ^ j = \ frac {1} {(1-z) ^ 2} [/ math]. Diferencia de nuevo y obtienes [matemática] \ sum_ {j = 0} ^ {\ infty} (j + 2) (j + 1) z ^ j = \ frac {2} {(1-z) ^ 3} [/ matemáticas]. Luego puede sumar y restar combinaciones de estos, y elegir valores como [math] z = 1/3 [/ math] y llegar a una evaluación para cualquier suma de la forma [math] \ sum_ {n = 0} ^ { \ infty} p (n) z ^ n [/ math] donde [math] p [/ math] es un polinomio y [math] | z | <1 [/ math].

Answer 3

Reescribe el término general como:

(1/3) (2/3) ^ n

Y extraiga el (1/3) del símbolo de suma.

Para que la suma se convierta en una serie geométrica con el primer término a1 igual a 2/3.

Aplica la fórmula de suma infinita para series geométricas:

S = a1 / (1-r)

Donde r es igual a 2/3, porque ese es el multiplicador por el que multiplicas un término para llegar al siguiente.

Entonces,

S = (2/3) / (1–1 / 3) = 2

Pero no olvide el 1/3 que factorizamos antes.

Entonces la suma es (1/3) * 2 = 2/3.

Answer 4

[matemáticas] \ displaystyle S = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {2n} {3 ^ {n + 1}} = \ frac29 + \ frac4 {27} + \ frac6 {81} + \ cdots \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac S3 = \ frac2 {27} + \ frac4 {81} + \ cdots \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} S- \ frac S3 = \ frac {2S} 3 & = \ frac29 + \ frac2 {27} + \ cdots \\ & = \ frac {\ frac29} {1- \ frac13} \\ & = \ frac13 \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ por lo tanto S = \ frac {3 \ times \ frac13} 2 = \ frac12 \ tag * {} [/ math]

Answer 5

Use una fórmula general para la suma

a1 * b1 + a2 * b2 + …. + an * bn donde a1, a2, …, an es una secuencia aritmética y b1, b2, … bn es una secuencia geométrica.

En nuestro caso, la secuencia aritmética es 2,4, …, 2n y la secuencia geométrica es

1/3 ^ 2, 1/3 ^ 3,…, 1/3 ^ (n + 1)

Luego encuentra el límite de esta expresión cuando n va al infinito.

Este es un enfoque general que podría ser útil para resolver otros problemas.

Sin embargo, prefiero la respuesta de Mirza Hafiz. Es muy elegante.