Como resolverias esto? [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {t \ to \ infty} \ dfrac {\ int_ {t} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ 2} \ mathrm {d} x} {\ tan ^ {- 1} (t) – \ frac {\ pi} {2}} [/ math]

Answer 1

* A2A

Pregunta perfecta para divertirse con 🙂

• Como [math] t \ to \ infty [/ math], las integrales ya no pueden ” moverlo, moverlo “. Por lo tanto, genera un área de cero. Es posible que me hayas visto haciendo algo similar aquí La respuesta de Awnon Bhowmik a ¿Cómo calculo [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_n ^ {n + 1} \ dfrac {1} {{\ sqrt {x ^ 3 + x + 1}}} \ dx [/ matemáticas]?
• Para el denominador, [math] \ arctan (\ infty) = \ dfrac \ pi2 [/ math], lo que hace que el denominador evalúe a cero.

Ahora, realmente no me gusta usar [matemáticas] \ text {L ‘H} \ hat {\ text {o}} \ text {regla de pital} [/ matemáticas] pero no veo otra opción para obtener la respuesta con rapidez.

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Aquí va….

[matemática] \ begin {align} L & = \ lim_ \ limits {t \ to \ infty} \ dfrac {\ displaystyle \ int_t ^ \ infty e ^ {- x ^ 2} \, \ mathrm dx} {\ arctan (t ) – \ dfrac \ pi2} \\ & = \ lim_ \ limits {t \ to \ infty} \ dfrac {\ dfrac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} \ left [\ displaystyle \ int_t ^ \ infty e ^ { -x ^ 2} \, \ mathrm dx \ right]} {\ dfrac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} \ left [\ arctan (t) – \ dfrac \ pi2 \ right]} \\ & = \ lim_ \ limits {t \ to \ infty} \ dfrac {\ dfrac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} \ left [\ displaystyle \ int_0 ^ \ infty e ^ {- x ^ 2} \, \ mathrm dx- \ int_0 ^ te ^ {- x ^ 2} \, \ mathrm dx \ right]} {\ dfrac1 {1 + t ^ 2}} \ qquad [\ text {Desglose de la suma de Riemann]} \\ & = \ lim_ \ limits {t \ to \ infty} \ dfrac {\ dfrac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} \ left [\ displaystyle \ dfrac {\ sqrt \ pi} 2- \ int_0 ^ xe ^ {- x ^ 2} \, \ mathrm dx \ right]} {\ dfrac1 {1 + t ^ 2}} \ qquad \ qquad \ begin {cases} \ text {Segundo teorema fundamental} \\\ text {del cálculo integral} \ end {cases} \\ & = \ lim_ \ limits {t \ to \ infty} – \ dfrac {1 + t ^ 2} {e ^ {t ^ 2}} \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ quad [\ text {Forma indeterminada, una vez de nuevo}] \\ & = \ lim_ \ limits {t \ to \ infty} – \ dfrac {2t} {2te ^ {t ^ 2}} \\ & = \ lim_ \ limits {t \ to \ infty} – \ dfrac1 {e ^ {t ^ 2}} \\ & = 0 \ es d {align} \ tag * {} [/ math]

No está mal. La respuesta parece coincidir con los demás.

Answer 2

Hasta algunas constantes que no resultan importantes, el numerador representa la probabilidad de que una variable aleatoria normal estándar tome un valor mayor que [math] t [/ math]. El denominador representa la probabilidad de que una variable aleatoria distribuida de Cauchy (mediana cero) tome un valor mayor que [math] t [/ math]. Si comprende estas distribuciones, sabe que la relación debe converger a cero.

Si no comprende las distribuciones, puede usar la regla de L’Hospital para calcular el límite. Al diferenciar el numerador y el denominador se obtiene la relación de las funciones de densidad:

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {t \ to \ infty} \ frac {-e ^ {- t ^ 2}} {(1 + t ^ 2) ^ {- 1}} = \ lim_ {t \ to \ infty } – (1 + t ^ 2) e ^ {- t ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {u \ to \ infty} – \ frac {(1 + u)} {e ^ {u}} [/ math]

Y L’Hospital otra vez

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {u \ to \ infty} – \ frac {1} {e ^ {u}} = 0 [/ matemáticas]

Answer 3

Tanto el nominador como el denominador son iguales a cero en el límite infinito. ¡Esto requiere L’Hopital!

Diferenciando obtenemos

[matemáticas] L = \ lim_ {t \ rightarrow \ infty} \ frac {-e ^ {- t ^ 2}} {\ frac {1} {1 + t ^ 2}} = – \ lim_ {t \ rightarrow \ infty} (1 + t ^ 2) e ^ {- t ^ 2} = 0 [/ math]