Supongamos que las superficies de nivel de f (x, y, z) = c y g (x, y, z) = d son tangentes en un punto (x0, y0, z0), ¿cómo mostrarías que a * Gradf (x0, y0, z0) + b * Gradg (x0, y0, z0) = 0 para las constantes a y b?

Answer 1

Intentaré una respuesta para el caso (x, y). El (x, y, z) será por extensión y analogía. También intentaré formular matemáticas sin molestarme en usar símbolos matemáticos …

Dejar
f (x, y) = c y g (x, y) = d
ser dos curvas en el plano (x, y). Permita que se encuentren en (x0, y0) y compartan la misma línea tangente allí.

Primer razonamiento

Siguiendo la curva de cada función cerca (x0, y0), su valor es constante, por lo que su diferencial es cero :

df = (f’x0) dx + (f’y0) dy = 0
dg = (g’x0) dx + (g’y0) dy = 0
para cualquier dx y dy.
Por lo tanto deberíamos tener
(f’x0 / g’x0) = (f’y0 / g’y0) = p
(p = un factor común)

O:
(f’x0, f’y0) = p (g’x0, g’y0) =>
grad (f0) = p grad (g0)
Si lo quieres de manera más general:
a grad (f0) + b grad (g0) = 0

Otro razonamiento.

Las funciones implícitas y [f] = yf (x) e y [g] = yg (x) que tienen la misma línea tangente, sus derivadas locales son iguales :
in (x0, y0) => dy / dx = k (k = un factor común) => dy = k dx

Ingrese las ecuaciones df y dg anteriores =>
[f’x0 + k f’y0] dx = 0
[g’x0 + k g’y0] dx = 0
para cualquier dx.
Por lo tanto deberíamos tener
f’x0 + k f’y0 = g’x0 + k g’y0 = 0
Ahora si definimos
f’x0 = p g’x0, entonces también debería
f’y0 = p g’y0 =>
grad (f0) = p grad (g0)