¿Por qué una función discontinua se considera una función si parte de la definición de una función es que para todo x, hay una única f (x)?

Answer 1

[Editar: Un muy avergonzado gracias a quienes señalaron que invertí el rango y el dominio. Estoy asombrado y perplejo de que haría eso, incluso si aún no estaba despierto. Al menos fui 100% consistente en revertirlos. ¡Disculpas a cualquiera que haya confundido!]

Bueno, dos cosas están sucediendo aquí.

Primero, esa no es realmente la definición de una función. Una función es una relación de un dominio a un rango . Tiene que tener un valor único para cada valor en el dominio . Los valores que no están en el dominio de la función, no necesitan tener valores en absoluto.

Entonces, en su ejemplo, 3 no puede estar en el dominio de la función, pero sigue siendo una función. El dominio es discontinuo a las 3.

El segundo problema es que este no es el único tipo de discontinuidad. Es interesante, porque si 3 estuvieran en el dominio y el valor fuera 1, con esa sola adición, se convertiría en una función continua.

Pero lo más común son las funciones discontinuas donde no hay agujeros en el dominio. Por ejemplo, f (x) = 0 donde x = 0 yx es un número real.

Esto se llama la función de paso, muy útil en ingeniería eléctrica, por ejemplo. Tiene un valor para todos los números reales, pero es discontinuo en 0. También encaja con su descripción de una función.

El problema con su versión truncada de una función es que realmente no tiene sentido “para cada x “, estar solo así. ¿Puede x ser complejo? Transfinito? Un vector? Un cuaternion? Una matriz? ¿Una roca lunar?

Realmente necesita que “para todas las x en el dominio de la función” para que la declaración tenga un sentido preciso. Y una vez que lo agrega, el concepto de una función se vuelve mucho más poderoso y útil.

Sí, puede tener una función con un dominio de rocas lunares traído por las misiones Apolo, y sus coordenadas geográficas en este momento. El dominio es rocas lunares de Apolo, el rango es el vector [lat, largo, elevación]. La continuidad no se aplica porque el dominio no está ordenado, pero eso no es un requisito para una función.

O f (roca, tiempo), que es continua en el tiempo pero no roca, cuando el tiempo es desde el final de las misiones Apolo hasta el presente. (Y el futuro previsible, pero no el infinito)

Un círculo en el plano real no es una función de xay. Entonces x ^ 2 + y ^ 2 = 1 no es una función porque los valores para y no son únicos para los valores de y. Pero se puede describir como una función del dominio [0, 2 * PI], f (t) = [cos (t), sin (t)]. Esta es una función, porque cada valor para t tiene un valor único.

De todos modos, espero que esto responda a su pregunta y le brinde una comprensión más amplia de lo que es y no es una función.

Answer 2

En una función, para cada objeto del dominio tiene un único valor relacionado, la imagen. Si fuera más de una “y” para una “x”, la relación no es una función. “Y es el padre de x es una función” tomando el dominio de todos los seres humanos. 2 personas pueden ser hermanos, pero un sujeto x puede tener 1,2,3…. hermanos o no hermanos, no es una función en el dominio del ser humano, solo una relación. En funciones numéricas (o funciones vectoriales, o vectores a escalares), los elementos de la imagen pueden ser elementos de cualquier conjunto matemático, o incluso, como en mi ejemplo, colección de seres, concretos o abstractos, otros conjuntos, etc. Si tiene 2 fórmulas para definir una función que brinde resultados diferentes para un valor, luego debe especificar qué fórmula debe usar para obtener la imagen en cada punto del dominio. Normalmente, en matemáticas, pueden ser fórmulas diferentes para diferentes intervalos del dominio en una función de números reales a reales. Por supuesto, si tiene 2 fórmulas diferentes, debe saber en qué subconjunto del dominio debe usar cada fórmula

Incluso es posible que no haya una fórmula exacta para una función. La temperatura en una habitación es una función del tiempo, una vez una temperatura, puede medirlas (aproximadamente) pero tiene un valor en cada instante. La única condición es “1 y solo una imagen (y) para cada valor del dominio (x)”. No hay necesidad de continuidad. En ciencias experimentales, las funciones normalmente son continuas, pero no es una consecuencia de la definición, es porque la evolución de los sistemas con magnitudes continuas se rige por ecuaciones diferenciales de evolución en general, entonces las funciones son continuas y más que esto, son diferenciables. número de veces para que la ecuación que deduce la función de la evolución de las variables del sistema en el tiempo sea continua

Answer 3

Entonces el comentario es muy importante aquí.

Simplemente no es el caso de que [math] \ frac {x + 3} {x-3} [/ math] te defina una función a menos que uses algunas convenciones.

Una función debe tener un dominio y un codominio, por ejemplo,

[matemáticas] f: [0,1] \ taza (2,4) \ setminus \ {3 \} \ a [-12,45) [/ matemáticas]

[matemáticas] x \ mapsto \ frac {x + 3} {x-3} [/ matemáticas]

Es una función.

Como puede ver, esto contiene un par ordenado [math] (x, y) [/ math] por cada [math] x \ in [0,1] \ cup (2,4) \ setminus \ {3 \} [ /matemáticas]

Esta función también es continua. Entonces, la pregunta no tiene nada que ver con funciones discontinuas, sino con convenciones que nadie te dijo.