Supongo que la ecuación que pretendes es
[matemáticas] {\ displaystyle \ int} \ csc ^ 2 \ left (x \ right) \ sec ^ 3 \ left (x \ right) \, \ mathrm {d} x [/ math]
Si es así, estos son los pasos:
[matemáticas] {\ displaystyle \ int} \ csc ^ 2 \ left (x \ right) \ sec ^ 3 \ left (x \ right) \, \ mathrm {d} x [/ math]
- ¿A qué es igual tan (a + bi)? Dado [matemática] \ sin (a + bi) = 0.5e ^ {- b} ((1 + e ^ {2b} [/ matemática]) [matemática] sina [/ matemática] – ([matemática] (1-e ^ {2b} [/ matemática]) [matemática] icosa [/ matemática]) y [matemática] \ cos (a + bi) = 0.5e ^ {- b} ((1 + e ^ {2b} [/ matemática] ) [math] cosa + (1-e ^ {2b} [/ math]). [math] icosa [/ math]) del siguiente video.
- ¿Cuál es la constante (o al menos un valor aproximado de la misma) dada por [matemáticas] \ displaystyle \ int _ {- \ pi} ^ \ pi \ left (1 + e ^ {it} \ right) ^ 4 \ frac {- e ^ {i (\ pi-t)}} {\ left (1-e ^ {i (\ pi-t)} \ right) ^ 2 \ left (1-e ^ \ frac {-e ^ {i ( \ pi-t)}} {1-e ^ {i (\ pi-t)}} \ right)} \, \ mathrm dt [/ math]?
- ¿Por qué la inversa de [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] es igual a [matemáticas] f ^ {- 1} (x) [/ matemáticas], en lugar de [matemáticas] f (x) ^ {- 1} [ /matemáticas]?
- La segunda derivada de la función [matemática] y = (x-1) ^ 4 [/ matemática] es cero cuando [matemática] x = 1 [/ matemática], pero no es un punto de inflexión (es mínimo). ¿Por qué?
- ¿Por qué [math] e ^ {i \ pi} + 1 = 0 [/ math]?
Prepare [matemáticas] \ csc \ left (x \ right) = \ dfrac {1} {\ sin \ left (x \ right)}, \: \ sec \ left (x \ right) = \ dfrac {1} {\ cos \ left (x \ right)}, \: \ cos ^ 2 \ left (x \ right) = 1- \ sin ^ 2 \ left (x \ right) [/ math]
[math] = {\ displaystyle \ int} \ class {steps-node} {\ cssId {steps-node-1} {\ cos \ left (x \ right)}} \ cdot \ class {steps-node} {\ cssId {steps-node-2} {\ dfrac {1} {\ sin ^ 2 \ left (x \ right) \ left (\ sin ^ 2 \ left (x \ right) -1 \ right) ^ 2}}} \, \ mathrm {d} x [/ math]
Sustituya [math] u = \ sin \ left (x \ right) \ to \ mathrm {d} x = \ dfrac {1} {\ cos \ left (x \ right)} \, \ mathrm {d} u [/ matemáticas] (esta es una EDO separable de primer orden)
[math] = {\ displaystyle \ int} \ dfrac {1} {u ^ 2 \ left (u ^ 2-1 \ right) ^ 2} \, \ mathrm {d} u [/ math]
Factoriza el denominador:
[matemáticas] = {\ displaystyle \ int} \ dfrac {1} {\ left (u-1 \ right) ^ 2u ^ 2 \ left (u + 1 \ right) ^ 2} \, \ mathrm {d} u [ /matemáticas]
Realizar descomposición de fracción parcial:
[matemáticas] = {\ displaystyle \ int} \ left (\ dfrac {3} {4 \ left (u + 1 \ right)} + \ dfrac {1} {4 \ left (u + 1 \ right) ^ 2} + \ dfrac {1} {u ^ 2} – \ dfrac {3} {4 \ left (u-1 \ right)} + \ dfrac {1} {4 \ left (u-1 \ right) ^ 2} \ derecha) \ mathrm {d} u [/ math]
Aplicar linealidad:
[math] = \ class {steps-node} {\ cssId {steps-node-3} {\ dfrac {3} {4}}} {\ displaystyle \ int} \ dfrac {1} {u + 1} \, \ mathrm {d} u + \ class {steps-node} {\ cssId {steps-node-4} {\ dfrac {1} {4}}} {\ displaystyle \ int} \ dfrac {1} {\ left (u +1 \ right) ^ 2} \, \ mathrm {d} u + {\ displaystyle \ int} \ dfrac {1} {u ^ 2} \, \ mathrm {d} u- \ class {steps-node} {\ cssId {steps-node-5} {\ dfrac {3} {4}}} {\ displaystyle \ int} \ dfrac {1} {u-1} \, \ mathrm {d} u + \ class {steps-node} {\ cssId {steps-node-6} {\ dfrac {1} {4}}} {\ displaystyle \ int} \ dfrac {1} {\ left (u-1 \ right) ^ 2} \, \ mathrm { d} u [/ matemáticas]
Ahora integremos esto por partes:
[matemáticas] {\ displaystyle \ int} \ dfrac {1} {u + 1} \, \ mathrm {d} u [/ math]
Sustituya [math] v = u + 1 \ to \ mathrm {d} u = \ mathrm {d} v [/ math] (esta es una ODE separable de primer orden)
[math] = {\ displaystyle \ int} \ dfrac {1} {v} \, \ mathrm {d} v = \ ln \ left (v \ right) [/ math] (esta es una integral estándar)
Deshacer la sustitución [matemática] v = u + 1 [/ matemática], entonces tenemos [matemática] = \ ln \ izquierda (u + 1 \ derecha) [/ matemática]
Ahora resolviendo: [matemáticas] {\ displaystyle \ int} \ dfrac {1} {\ left (u + 1 \ right) ^ 2} \, \ mathrm {d} u [/ math]
Sustituya [math] v = u + 1 [/ math] como se indica arriba: [math] = {\ displaystyle \ int} \ dfrac {1} {v ^ 2} \, \ mathrm {d} v [/ math]
Usando la regla de poder:
[matemáticas] {\ displaystyle \ int} v ^ {\ mathtt {n}} \, \ mathrm {d} v = \ dfrac {v ^ {\ mathtt {n} +1}} {\ mathtt {n} +1 } [/ math] con [math] \ mathtt {n} = 2: [/ math]
[matemáticas] = – \ dfrac {1} {v} [/ matemáticas]
Al deshacer la sustitución [matemática] v = u + 1 [/ matemática], obtenemos [matemática] = – \ dfrac {1} {u + 1} [/ matemática]
Ahora resolviendo [matemáticas] {\ displaystyle \ int} \ dfrac {1} {u ^ 2} \, \ mathrm {d} u = – \ dfrac {1} {u + 1} [/ math] (ver arriba)
Resolver [matemática] {\ displaystyle \ int} \ dfrac {1} {u-1} \, \ mathrm {d} u [/ math] seguiría los mismos pasos que [math] {\ displaystyle \ int} \ dfrac { 1} {u + 1} \, \ mathrm {d} u [/ math] pero la respuesta sería [math] = \ ln \ left (u-1 \ right) [/ math]
En la misma línea, [matemáticas] {\ displaystyle \ int} \ dfrac {1} {\ left (u-1 \ right) ^ 2} \, \ mathrm {d} u = – \ dfrac {1} {u- 1} [/ matemáticas]
Enchufe todas las integrales resueltas:
[matemáticas] \ clase {pasos-nodo} {\ cssId {pasos-nodo-7} {\ dfrac {3} {4}}} {\ displaystyle \ int} \ dfrac {1} {u + 1} \, \ mathrm {d} u + \ class {steps-node} {\ cssId {steps-node-8} {\ dfrac {1} {4}}} {\ displaystyle \ int} \ dfrac {1} {\ left (u + 1 \ right) ^ 2} \, \ mathrm {d} u + {\ displaystyle \ int} \ dfrac {1} {u ^ 2} \, \ mathrm {d} u- \ class {steps-node} {\ cssId {steps-node-9} {\ dfrac {3} {4}}} {\ displaystyle \ int} \ dfrac {1} {u-1} \, \ mathrm {d} u + \ class {steps-node} { \ cssId {steps-node-10} {\ dfrac {1} {4}}} {\ displaystyle \ int} \ dfrac {1} {\ left (u-1 \ right) ^ 2} \, \ mathrm {d } u = \ dfrac {3 \ ln \ left (u + 1 \ right)} {4} – \ dfrac {1} {4 \ left (u + 1 \ right)} – \ dfrac {1} {u} – \ dfrac {1} {4 \ left (u-1 \ right)} – \ dfrac {3 \ ln \ left (u-1 \ right)} {4} [/ math]
Deshacer la sustitución: [matemáticas] u = \ sin \ left (x \ right) [/ math], obtenemos
[matemáticas] = \ dfrac {3 \ ln \ left (\ sin \ left (x \ right) +1 \ right)} {4} – \ dfrac {3 \ ln \ left (\ sin \ left (x \ right) -1 \ right)} {4} – \ dfrac {1} {4 \ left (\ sin \ left (x \ right) +1 \ right)} – \ dfrac {1} {\ sin \ left (x \ right )} – \ dfrac {1} {4 \ left (\ sin \ left (x \ right) -1 \ right)} [/ math]
Agregando la constante y simplificando, la respuesta es:
[matemáticas] {\ displaystyle \ int} \ csc ^ 2 \ left (x \ right) \ sec ^ 3 \ left (x \ right) \, \ mathrm {d} x = \ dfrac {3 \ ln \ left (\ sin \ left (x \ right) +1 \ right) -3 \ ln \ left (1- \ sin \ left (x \ right) \ right) -6 \ csc \ left (x \ right)} {4} + \ sec \ left (x \ right) \ csc \ left (2x \ right) + C [/ math]