¿Cómo se resuelve [matemáticas] | x + 1 | – | x | +2 | x-1 | = 2x-1 [/ matemáticas]?

Answer 1

* A2A

Bien, juguemos … 🙂

Ahora, así es como lo pensé. ¿Qué hacemos cuando tenemos [matemáticas] f (x) = | x | [/ matemáticas]? Pensamos en los puntos de quiebre. En nuestro caso, tenemos que pensar en [matemáticas] | x + 1 |, | x | [/ matemáticas] y [matemáticas] | x-1 | [/ matemáticas]. Entonces los descansos están en [matemáticas] x = -1,0,1 [/ matemáticas]. Ahora viene la parte difícil.

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• Comience desde el punto de ruptura izquierdo y avance lentamente hacia el punto de ruptura más a la derecha.
• Para [matemáticas] x <-1 [/ matemáticas], todo a la izquierda es negativo

[matemáticas] \ begin {align} – (x + 1) – (- x) +2 (-1) (x-1) & = 2x-1 \\ – x-1 + x + 2-2x & = 2x- 1 \\ 4x & = 2 \\ x & = \ dfrac12 \ end {align} \ tag * {} [/ math]

• Para [matemáticas] -1 \ le x <0, [/ matemáticas] solo el primer término de la izquierda es positivo, todo lo demás es negativo

[matemáticas] \ begin {align} (x + 1) – (- x) +2 (-1) (x-1) & = 2x-1 \\ x + 1 + x + 2-2x & = 2x-1 \ \ 3 & = 2x-1 \\ 2x & = 4 \\ x & = 2 \ end {align} \ tag * {} [/ math]

• Para [matemática] 0 \ le x <1 [/ matemática], los dos primeros términos de la izquierda son positivos, el último es negativo.

[matemáticas] \ begin {align} (x + 1) -x + 2 (-1) (x-1) & = 2x-1 \\ x + 1-x + 2-2x & = 2x-1 \\ 3- 2x & = 2x-1 \\ 4x & = 4 \\ x & = 1 \ end {align} \ tag * {} [/ math]

• Para [math] x \ ge 1 [/ math], todo a la izquierda es positivo

[matemáticas] \ begin {align} (x + 1) -x + 2 (x-1) & = 2x-1 \\ x + 1-x + 2x-2 & = 2x-1 \\ 2x-1 & = 2x- 1 \\ x & \ in \ mathbb {R} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

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Oookkkaaayyy, hemos terminado. Escriba las soluciones …

[matemáticas] \ begin {align} x & = \ begin {cases} \ dfrac12, & x <-1 & \ text {But} \ dfrac12 \ notin (- \ infty, -1) & \ boxed {\ times} \\ 2, & -1 \ le x <0 & \ text {But} 2 \ notin [-1,0) & \ boxed {\ times} \\ 1, & 0 \ le x <1 & \ text {But} 1 \ notin [0, 1) & \ boxed {\ times} \\\ mathbb {R}, & x \ ge 1 & \ text {Vemos que} [1, \ infty) \ in \ mathbb {R} & \ boxed {\ checkmark} \ end {casos} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Adelante. Recoge los restos ahora 🙂

No tengo que decirte cuál es la solución, debería ser obvio ahora.

Answer 2

Me gustó la respuesta de Jean-Claude Colette, pero quiero escribirla de una manera que me parezca más agradable y fácil de leer.

[matemáticas] | x + 1 | – | x | + 2 | x-1 | = 2x – 1 [/ matemáticas]

Divide esto en casos:

[matemáticas] \ begin {align} | x + 1 | – | x | + 2 | x-1 | & = 2x – 1 & \ text {if} x \ le -1 \\ | x + 1 | – | x | + 2 | x-1 | & = 2x – 1 & \ text {if} -1 \ le x \ le 0 \\ | x + 1 | – | x | + 2 | x-1 | & = 2x – 1 & \ text {if} 0 \ le x \ le 1 \\ | x + 1 | – | x | + 2 | x-1 | & = 2x – 1 & \ text {if} 1 \ le x \ end {align} [/ math]

Después de dividir en casos, podemos reescribir los valores absolutos:

[matemáticas] \ begin {align} – (x + 1) – (-x) + 2 [- (x-1)] & = 2x – 1 & \ text {if} x \ le -1 \\ (x + 1) – (-x) + 2 [- (x-1)] & = 2x – 1 & \ text {if} -1 \ le x \ le 0 \\ (x + 1) – (x) + 2 [ – (x-1)] & = 2x – 1 & \ text {if} 0 \ le x \ le 1 \\ (x + 1) – (x) + 2 (x-1) & = 2x – 1 & \ texto {if} 1 \ le x \ end {align} [/ math]

Después de eliminar los signos de valor absoluto, se trata principalmente de álgebra estándar:

[matemáticas] \ begin {align} -x -1 + x -2x + 2 & = 2x – 1 & \ text {if} x \ le -1 \\ x + 1 + x -2x + 2 & = 2x – 1 & \ text {if} -1 \ le x \ le 0 \\ x + 1 – x -2x + 2 & = 2x – 1 & \ text {if} 0 \ le x \ le 1 \\ x + 1 – x + 2x-2 & = 2x – 1 & \ text {if} 1 \ le x \ end {align} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align} -2x + 1 & = 2x – 1 & \ text {if} x \ le -1 \\ 3 & = 2x – 1 & \ text {if} -1 \ le x \ le 0 \\ -2x + 3 & = 2x – 1 & \ text {if} 0 \ le x \ le 1 \\ 2x-1 & = 2x – 1 & \ text {if} 1 \ le x \ end {align} [ /matemáticas]

[matemáticas] \ begin {align} 4x & = 2 & \ text {if} x \ le -1 \\ 2x & = 4 & \ text {if} -1 \ le x \ le 0 \\ 4x & = 4 & \ text {if} 0 \ le x \ le 1 \\ 1 & = 1 & \ text {if} 1 \ le x \ end {align} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align} x & = \ frac {1} {2} & \ text {if} x \ le -1 \\ x & = 2 & \ text {if} -1 \ le x \ le 0 \\ x & = 1 & \ text {if} 0 \ le x \ le 1 \\ 1 & = 1 & \ text {if} 1 \ le x \ end {align} [/ math]

El primer caso es el conjunto vacío, 1/2 no está en ese intervalo. El segundo caso también es el conjunto vacío porque 2 no está en ese intervalo. El tercer caso da [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas]. El cuarto caso es verdadero para todos [matemática] x [/ matemática] tal que [matemática] 1 \ le x [/ matemática]

Por lo tanto, el conjunto de soluciones es [math] x \ ge 1 [/ math].

Gracias a Riccardo Bestetti por una corrección cerca del final de mi respuesta.

Answer 3

A menudo, cuando una ecuación tiene valores absolutos, busca “eliminarlos”.

Pero no podemos hacer esto sin saber si la siguiente expresión mantiene un signo constante. Consideramos la ecuación en intervalos en los que el signo de cada expresión no cambia. Aquí estas expresiones son afines y podemos encontrar que hay un cambio de signo en -1, 0 y 1.

Deje [matemáticas] (E): | x + 1 | – | x | +2 | x-1 | = 2x-1 [/ matemáticas]

Distinguimos 4 casos:

[matemáticas] \ forall x \ in (- \ infty, -1], (E) \ Leftrightarrow – (x + 1) – (- x) +2 (- (x-1)) = 2x-1 \ Leftrightarrow – 4x + 2 = 0 \ Leftrightarrow x = 1/2 [/ math]

1/2 no es una solución porque no está en el intervalo [matemática] (- \ infty, -1] [/ matemática].

[matemáticas] \ forall x \ in (-1, 0], (E) \ Leftrightarrow + (x + 1) – (- x) +2 (- (x-1)) = 2x-1 \ Leftrightarrow -2x + 4 = 0 \ Leftrightarrow x = 2 [/ math]

2 no es una solución porque no está en el intervalo.

[matemáticas] \ forall x \ in (0, 1], (E) \ Leftrightarrow + (x + 1) – (+ x) +2 (- (x-1)) = 2x-1 \ Leftrightarrow -4x + 4 = 0 \ Leftrightarrow x = 1 [/ math]

La solución de 1.

[matemáticas] \ forall x \ in (1, + \ infty), (E) \ Leftrightarrow + (x + 1) – (+ x) +2 (+ (x-1)) = 2x-1 \ Leftrightarrow 0 = 0 [/ matemáticas]

Todos los números reales de este intervalo son soluciones.

Finalmente, el conjunto de soluciones es: [math] [1, + \ infty) [/ math]