¿Cómo se derivó la ecuación para la energía cinética: [matemáticas] E_k = \ frac {1} {2} mv ^ 2 [/ matemáticas]?

Answer 1

Comencemos con una forma básica de derivar la ecuación de energía cinética.

Usando el teorema de la energía de trabajo (el trabajo [matemático] W [/ matemático] realizado por la fuerza neta sobre una partícula es igual al cambio en la energía cinética de la partícula) y la segunda ley de movimiento de Newton:

[matemáticas] {\ displaystyle \ Delta E_k = W = F \ Delta x = ma \ Delta x} [/ math]

De la cinemática tenemos la ecuación de movimiento:

[matemáticas] {\ displaystyle v ^ 2 = v_0 ^ 2 + 2 a \ Delta x}, [/ matemáticas]

o equivalente:

[matemáticas] {\ displaystyle a \ Delta x = \ frac {v ^ 2-v_0 ^ 2} {2}} [/ matemáticas]

Usando los resultados y ecuaciones anteriores tenemos:

[matemáticas] \ displaystyle {\ Delta E_k = ma \ Delta x = m \ left (\ frac {v ^ 2-v_0 ^ 2} {2} \ right)} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle {\ Delta E_k = \ frac {1} {2} mv ^ 2- \ frac {1} {2} m v_0 ^ 2} [/ matemáticas]

Como la energía cinética de una partícula o de un objeto en reposo es cero, el primer término permanece y podemos escribir:

[matemáticas] \ displaystyle {E_k = \ frac {1} {2} mv ^ 2}. [/ matemáticas]

La segunda forma de encontrar la ecuación de energía cinética es considerar el trabajo realizado para acelerar una partícula con masa [matemática] m [/ matemática] durante un intervalo de tiempo infinitesimal;

[matemáticas] {\ displaystyle \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {v} dt = {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} \ cdot \ mathbf {v} dt = \ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {p} = \ mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v}) \,} [/ math]

Hemos utilizado la segunda ley de movimiento de Newton, que establece que la tasa de cambio de momento de un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza aplicada:

[matemáticas] {\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} (m \ mathbf {v})} {\ mathrm {d} t}}.} [/ math]

La regla de diferenciación del producto se puede expresar de las siguientes maneras:

[matemáticas] {\ displaystyle {\ dfrac {d} {dx}} (u \ cdot v) = u \ cdot {\ dfrac {dv} {dx}} + v \ cdot {\ dfrac {du} {dx}} }[/matemáticas]

[matemáticas] {\ displaystyle d (uv) = u \, dv + v \, du}. [/ math]

Si se aplica la regla del producto obtenemos:

[matemáticas] {\ displaystyle d (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) = (d \ mathbf {v}) \ cdot \ mathbf {v} + \ mathbf {v} \ cdot (d \ mathbf { v}) = 2 (\ mathbf {v} \ cdot d \ mathbf {v}).} [/ math]

Asumiendo que la masa es constante:

[matemáticas] {\ displaystyle \ mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v}) = {\ frac {m} {2}} d (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}) = { \ frac {m} {2}} dv ^ {2} = d \ left ({\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ right).} [/ math]

Suponiendo que el objeto o partícula está en reposo en el momento inicial [math] 0 [/ math], integramos:

[matemáticas] {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} = \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {v} \ cdot d (m \ mathbf {v}) = \ int _ {0} ^ {v} d \ left ({\ frac {mv ^ {2}} {2}} \ right)} [/ matemáticas]

[matemáticas] {\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ frac {mv ^ {2}} {2}}}. [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que en mecánica analítica, la energía cinética total de un sistema de partículas se escribe como:

[matemáticas] \ displaystyle {T = \ frac {1} {2} \ sum _ {\ mu = 1} ^ N m _ {\ mu} {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {\ mu} ^ 2 = \ frac {1} {2} \ sum _ {\ mu = 1} ^ N m _ {\ mu} v _ {\ mu} ^ 2} [/ math]

La energía cinética se puede expresar generalmente como una forma cuadrática en las velocidades generalizadas [matemáticas] \ dot {q} _k [/ matemáticas]:

[matemáticas] {\ displaystyle T = \ sum_ {i, j} a_ {ij} \ dot {q} _ {i} \ dot {q} _ {j}} [/ matemáticas]

Answer 2

Un pequeño cálculo hace el truco.

Tenga en cuenta que la aceleración se puede escribir como:

[matemáticas] a = \ dfrac {dv} {dt} = \ dfrac {dv} {dx} \ dfrac {dx} {dt} = v \ dfrac {dv} {dx} [/ math]

Por definición, el trabajo total realizado por una fuerza F es:

[matemáticas] W = \ displaystyle \ int_ {x_1} ^ {x_2} {F (x) dx} [/ matemáticas]

[math] = \ displaystyle \ int_ {x_1} ^ {x_2} {ma \ dx} [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int_ {x_1} ^ {x_2} {mv \ dfrac {dv} {dx} dx} [/ math]

Sustituyendo [math] dv [/ math] por [math] (dv / dx) dx [/ math], y dejando que [math] v_1 [/ math] y [math] v_2 [/ math] sean las velocidades en las posiciones [math] ] x_1 [/ math] y [math] x_2 [/ math]:

[matemáticas] W = \ displaystyle \ int_ {v_1} ^ {v_2} {mv \ dv} [/ matemáticas]

Evaluar la integral nos da la fórmula familiar para el cambio en la energía cinética:

[matemáticas] \ dfrac {1} {2} m (v_2 ^ 2 – v_1 ^ 2) [/ matemáticas]

Si lo desea, puede configurar [matemáticas] v_1 = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] v_2 = v [/ matemáticas], para obtener:

[matemáticas] KE = \ dfrac {1} {2} mv ^ 2 [/ matemáticas]

Answer 3

Sea M un objeto de masa m inicialmente en reposo. Su energía cinética es 0 en este punto. Ahora empuje el objeto con la fuerza F durante t segundos. Debido a la conservación de la energía, la energía cinética del objeto en el tiempo t es igual al trabajo realizado sobre él, Fs , donde s es la distancia recorrida. Según la segunda ley de Newton, F = ma y mediante fórmulas de aceleración constante, s = v (t = 0) +1/2 en ^ 2. Combinando estos, tenemos W = Fs = mas = ma (1 / 2at ^ 2) , dado que v (0) = 0. Dado que en el tiempo t , v = at, W = 1 / 2m (at) ^ 2 = 1 / 2mv ^ 2.