Deje [math] \ displaystyle I = \ int \ dfrac {1} {(x ^ 2 – 6x + 10) ^ 2} \, dx [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {1} {(x ^ 2 – 6x + 9 + 1) ^ 2} \, dx [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {1} {((x – 3) ^ 2 + 1) ^ 2} \, dx [/ matemáticas]
Asumamos
- ¿Por qué una función discontinua se considera una función si parte de la definición de una función es que para todo x, hay una única f (x)?
- ¿Cuál es la integral de sec ^ 3xcosec ^ 2x?
- ¿A qué es igual tan (a + bi)? Dado [matemática] \ sin (a + bi) = 0.5e ^ {- b} ((1 + e ^ {2b} [/ matemática]) [matemática] sina [/ matemática] – ([matemática] (1-e ^ {2b} [/ matemática]) [matemática] icosa [/ matemática]) y [matemática] \ cos (a + bi) = 0.5e ^ {- b} ((1 + e ^ {2b} [/ matemática] ) [math] cosa + (1-e ^ {2b} [/ math]). [math] icosa [/ math]) del siguiente video.
- ¿Cuál es la constante (o al menos un valor aproximado de la misma) dada por [matemáticas] \ displaystyle \ int _ {- \ pi} ^ \ pi \ left (1 + e ^ {it} \ right) ^ 4 \ frac {- e ^ {i (\ pi-t)}} {\ left (1-e ^ {i (\ pi-t)} \ right) ^ 2 \ left (1-e ^ \ frac {-e ^ {i ( \ pi-t)}} {1-e ^ {i (\ pi-t)}} \ right)} \, \ mathrm dt [/ math]?
- ¿Por qué la inversa de [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] es igual a [matemáticas] f ^ {- 1} (x) [/ matemáticas], en lugar de [matemáticas] f (x) ^ {- 1} [ /matemáticas]?
[matemáticas] \ displaystyle x – 3 = \ tan (y) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica dx = \ sec ^ 2 (y) \, dy [/ math]
Sustituyendo los valores supuestos anteriores en [math] I [/ math],
[matemáticas] \ displaystyle I = \ int \ dfrac {\ sec ^ 2 (y)} {(\ tan ^ 2 (y) + 1) ^ 2} \, dy [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {\ sec ^ 2 (y)} {\ sec ^ 4 (y)} \, dy [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {1} {\ sec ^ 2 (y)} \, dy [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ cos ^ 2 (y) \, dy [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {2 \ cos ^ 2 (y) – 1 + 1} {2} \, dy [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {\ cos (2y) + 1} {2} \, dy [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {\ cos (2y)} {2} \, dy + \ int \ dfrac {1} {2} \, dy [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ dfrac {\ sin (2y)} {4} + \ dfrac {1} {2} y [/ math]
Como, [matemáticas] \ displaystyle \ tan (y) = x – 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ tan ^ 2 (y) = (x – 3) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ tan ^ 2 (y) + 1 = (x – 3) ^ 2 + 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ sec ^ 2 (y) = (x – 3) ^ 2 + 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ cos ^ 2 (y) = \ dfrac {1} {(x – 3) ^ 2 + 1} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ cos (y) = \ dfrac {1} {\ sqrt {(x – 3) ^ 2 + 1}} [/ matemáticas]
También [math] \ displaystyle \ implica 1 – \ cos ^ 2 (y) = 1 – \ dfrac {1} {(x – 3) ^ 2 + 1} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ sin ^ 2 (y) = \ dfrac {(x – 3) ^ 2} {(x – 3) ^ 2 + 1} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ sin (y) = \ dfrac {x – 3} {\ sqrt {(x – 3) ^ 2 + 1}} [/ matemáticas]
Entonces, [math] \ displaystyle \ sin (2y) = 2 \ sin (y) \ cos (y) = \ dfrac {2 (x – 3)} {(x – 3) ^ 2 + 1} [/ math]
Entonces, sustituyendo los valores anteriores en [math] I [/ math], obtenemos
[matemáticas] \ displaystyle \ bbox [#AFA] {I = \ dfrac {x – 3} {2 ((x – 3) ^ 2 + 1)} + \ dfrac {\ arctan (x – 3)} {2} + C} [/ matemáticas]