Si X = {1, 2, 3} e Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ¿cuántas inyecciones hay de X a Y? ¿Cuántas sobrejeturas hay de Y a X?

El número de funciones inyectivas es simple de calcular:

Para una función, [matemática] f: X \ a Y [/ matemática], para ser inyectiva, tenemos [matemática] 6 [/ matemática] opciones para [matemática] f (1) [/ matemática], [matemática] 5 [/ math] opciones para [math] f (2) [/ math] y [math] 4 [/ math] opciones para [math] f (3) [/ math].

Por lo tanto, hay [matemática] 6 \ veces 5 \ veces 4 = 120 [/ matemática] asignación de funciones inyectables [matemática] X \ a Y [/ matemática].

Hay claramente [matemática] 3 ^ 6 = 729 [/ matemática] funciones posibles [matemática] g: Y \ a X [/ matemática] pero no todas ellas son sobreyectivas. [matemáticas] 2 ^ 6 [/ matemáticas] de estas funciones no asignan ningún elemento a [matemáticas] 1 \ en X [/ matemáticas] y de manera similar, [matemáticas] 2 ^ 6 [/ matemáticas] para [matemáticas] 2,3 \ en X [/ math]. Si restamos los números en estas tres listas de funciones, entonces estamos cerca. Los tres casos especiales en los que todos los valores en [math] Y [/ math] se asignan a un solo elemento de [math] X [/ math] se sustraen doblemente porque cada uno de estos ocurre dos veces en las tres listas que hemos restado. Por lo tanto, debemos agregar tres de nuevo.

Por lo tanto, hay [math] 729-3 \ times 2 ^ 6 + 3 = 540 [/ math] posibles funciones de mapeo sobreyectivo [math] Y \ to X [/ math].

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