Cómo resolver [matemáticas] 10 ^ x + x = 102 [/ matemáticas]

La ecuación dada tiene una solución de forma cerrada en términos de una función especial.

Reorganizando la ecuación, desarrollando y resolviendo:

[matemáticas] 10 ^ x + x = 102 [/ matemáticas]

[matemáticas] 10 ^ x = 102-x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln (10) 10 ^ x = \ ln (10) (102-x) [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {\ ln (10) 10 ^ x} = e ^ {\ ln (10) (102-x)} [/ matemáticas]

[matemáticas] {\ displaystyle 10 ^ {\ displaystyle 10 ^ x} = 10 ^ {\ displaystyle 102-x}} [/ math]

[matemáticas] {\ displaystyle 10 ^ {\ displaystyle 10 ^ x} = \ frac {10 ^ {102}} {10 ^ x}} [/ math]

[matemáticas] 10 ^ {102} = 10 ^ x * {\ displaystyle 10 ^ {\ displaystyle 10 ^ x}} [/ math]

Recordando que [matemáticas] 10 ^ x = 102-x, [/ matemáticas] tenemos:

[matemáticas] {\ displaystyle \ ln (10) 10 ^ {102} = \ ln (10) * 10 ^ x * {\ displaystyle 10 ^ {\ displaystyle 10 ^ x}} = \ ln (10) (102-x ) e ^ {\ ln (10) (102-x)}} \ quad (1) [/ math]

Deje [math] z = {\ displaystyle \ ln (10) 10 ^ {102}} [/ math] y [math] y = (102-x) \ ln (10) [/ math]

Usando la función Lambert W o el logaritmo del producto [matemática] W (z) [/ matemática] definida como:

[matemáticas] {\ displaystyle z = ye ^ y \ Leftrightarrow y = W (z)}, [/ math]

El resultado [matemáticas] (1) [/ matemáticas] se puede expresar como:

[matemáticas] (102-x) \ ln (10) = W ({\ displaystyle 10 ^ {102} \ ln (10)}) [/ matemáticas]

Resolviendo para [matemáticas] x [/ matemáticas]:

[matemáticas] -x \ ln (10) = W ({\ displaystyle 10 ^ {102} \ ln (10)}) -102 \ ln (10) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ boxed {\ large x = 102 – \ frac {W ({\ displaystyle 10 ^ {102} \ ln (10)})} {\ ln (10} = 2} [/ math]

Usar prueba y error e intentar o sustituir números pequeños en la ecuación [matemática] 10 ^ x + x = 102 [/ matemática] produce la solución entera o la solución de valor real [matemática] x = 2 [/ matemática], pero esto no muestra o explica la solución de forma simbólica o cerrada.

A continuación se muestra una gráfica de la solución como la intersección de las curvas que representan las funciones [matemáticas] f (x) = 10 ^ x + x [/ matemáticas] y [matemáticas] g (x) = 102 [/ matemáticas], con el punto de intersección en rojo (hecho con Mathematica):

El valor obtenido de [math] x [/ math] representa el valor de la rama principal (llamada [math] W [/ math] o [math] W_0 [/ math]) de la función de registro del producto en el plano complejo.

La solución general viene dada por:

[matemáticas] {\ displaystyle \ boxed {x = \ frac {102 \ ln (10) -W_n \ left (10 ^ {102} (\ ln (10)) \ right)} {\ ln (10)}, n \ in \ mathbb {Z}}} [/ math]

Por ejemplo, para [math] n = 1 [/ math] tenemos el siguiente resultado valioso complejo (verificado con Mathematica):

[matemáticas] {\ displaystyle x = \ frac {102 \ ln (10) -W_1 \ left (10 ^ {102} (\ ln (10)) \ right)} {\ ln (10)} \\ \ quad \ aproximadamente 2.0001595433223251268-2.7169560010253505909 i} [/ math]

Para [matemáticas] n = – 1 [/ matemáticas]:

[matemáticas] {\ displaystyle x = \ frac {102 \ ln (10) -W _ {- 1} \ left (10 ^ {102} (\ ln (10)) \ right)} {\ ln (10)} \ \ \ quad \ aprox 2.0001595433223251268 + 2.7169560010253505909 i} [/ matemáticas]

Para arbitrarias [matemáticas] a [/ matemáticas], la ecuación más general

[matemáticas] 10 ^ x + x = a [/ matemáticas]

tiene la siguiente solución:

[matemáticas] {\ displaystyle \ boxed {x = \ frac {a \ ln (10) -W_n \ left (10 ^ a \ ln (10) \ right)} {\ ln (10)}, n \ in \ mathbb {Z}}} [/ matemáticas]

El resultado anterior se puede verificar con un CAS como Mathematica escribiendo el código:

Reducir [10 ^ x + x == a, x]

A continuación se muestra una gráfica de contorno de [matemática] 10 ^ x + x = a, [/ matemática] que muestra el punto de intersección (en rojo) para [matemática] x = 2 [/ matemática] y a = [matemática] 102 [/ matemáticas] (hecho con Mathematica):

Aquí también hay una gráfica equivalente de [matemáticas] {\ displaystyle f (a) = \ frac {a \ ln (10) -W \ left (10 ^ a \ ln (10) \ right)} {\ ln (10) }}, [/ math] que muestra en rojo el punto de intersección con las coordenadas [math] (a = 102, x = 2) [/ math]:

Cabe señalar que para [matemática] a <0 [/ matemática], el valor de [matemática] x [/ matemática] para la solución de ramificación principal ([matemática] W [/ matemática] o [matemática] W_0 [/ math]) se acerca cada vez más al valor numérico de [math] a [/ math]. Por ejemplo, para [math] a = -8 [/ math], el valor numérico de x es aproximadamente [math] -8.00000000999999976974149865344. [/ Math]

Para [matemática] a = -120 [/ matemática], el valor numérico de [matemática] x [/ matemática] es aproximadamente igual a:

-120,00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000099999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999769741490700595431598200854531563579239889851137122702396667209903242739032264751976400279491040170165803222

Para un entero negativo dado [matemática] a [/ matemática], la parte entera de [matemática] x [/ matemática] es igual a [matemática] -a [/ matemática], y el valor decimal de [matemática] x [/ matemática] comienza con un número de ceros igual a [matemática] a [/ matemática].

Aquí hay una gráfica de contorno de [matemáticas] 10 ^ x + x = a, [/ matemáticas] que muestra los valores de [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] a [/ matemáticas] entre [matemáticas] -150 [/ matemáticas] y [matemáticas] 3 [/ matemáticas]:

Para arbitrarias [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas], la ecuación

[matemáticas] b ^ x + x = a [/ matemáticas]

tiene la siguiente solución general:

[matemáticas] x = a, \ Re (a)> 0, b = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = a-1, b = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 0, b \ neq 0, a = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] {\ displaystyle \ boxed {x = a- \ frac {W_n \ left (b ^ a \ ln (b) \ right)} {\ ln (b)}}, b \ neq 0, b ^ a \ neq 0, \ ln (b) \ neq 0, n \ in \ mathbb {Z}} [/ math]

Espero que haya sido útil.