Deje [math] \ displaystyle I = \ int e ^ {4x} \ cos (4x) \ cos (2x) \, dx [/ math]
Como [matemáticas] \ displaystyle 2 \ cos (A) \ cos (B) = \ cos (A + B) + \ cos (A – B) [/ matemáticas]
Entonces, [matemáticas] \ displaystyle I = \ int \ dfrac {e ^ {4x} (\ cos (6x) + \ cos (2x))} {2} \, dx [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica 2I = \ underbrace {\ int e ^ {4x} \ cos (6x) \, dx} _ {I_1} + \ underbrace {\ int e ^ {4x} \ cos (2x) \, dx} _ {I_2} [/ matemáticas]
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Permite aplicar la integración por técnica de piezas en [math] I_1 [/ math]
Suponga que [math] \ displaystyle u = \ cos (6x) [/ math]
[math] \ displaystyle \ implica du = -6 \ sin (6x) \, dx [/ math]
Suponga que [math] \ displaystyle dv = e ^ {4x} \, dx [/ math]
Entonces, [math] \ displaystyle v = \ int e ^ {4x} \, dx = \ dfrac {e ^ {4x}} {4} [/ math]
Como, [matemáticas] \ displaystyle \ int u \, dv = uv – \ int v \, du [/ math]
Entonces, [matemáticas] \ displaystyle I_1 = – \ dfrac {e ^ {4x} \ cos (6x)} {4} + \ int \ dfrac {6e ^ {4x} \ sin (6x)} {4} \, dx [/matemáticas]
Nuevamente aplicando la técnica de integración por partes
asumiendo [math] \ displaystyle u = 6 \ sin (6x) [/ math]
y [matemáticas] \ displaystyle dv = \ dfrac {e ^ {4x}} {4} [/ matemáticas]
y siguiendo los pasos anteriores, obtenemos,
[matemáticas] \ displaystyle I_1 = – \ dfrac {e ^ {4x} \ cos (6x)} {4} + \ dfrac {6e ^ {4x} \ sin (6x)} {16} – \ int \ dfrac {36e ^ {4x} \ cos (6x)} {16} \, dx [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica I_1 = – \ dfrac {e ^ {4x} \ cos (6x)} {4} + \ dfrac {6e ^ {4x} \ sin (6x)} {16} – \ dfrac {36 } {16} I_1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica I_1 + \ dfrac {36} {16} I_1 = – \ dfrac {e ^ {4x} \ cos (6x)} {4} + \ dfrac {6e ^ {4x} \ sin (6x )} {16} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ dfrac {52} {16} I_1 = – \ dfrac {e ^ {4x} \ cos (6x)} {4} + \ dfrac {6e ^ {4x} \ sin (6x)} {16} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica I_1 = – \ dfrac {4e ^ {4x} \ cos (6x)} {52} + \ dfrac {6e ^ {4x} \ sin (6x)} {52} [/ matemáticas]
Del mismo modo [math] \ displaystyle I_2 = – \ dfrac {e ^ {4x} \ cos (2x)} {5} + \ dfrac {e ^ {4x} \ sin (2x)} {10} [/ math]
Entonces, [matemáticas] \ displaystyle 2I = \ dfrac {6e ^ {4x} \ sin (6x)} {52} – \ dfrac {4e ^ {4x} \ cos (6x)} {52} + \ dfrac {e ^ {4x} \ sin (2x)} {10} – \ dfrac {e ^ {4x} \ cos (2x)} {5} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ bbox [#AFA] {I = \ dfrac {6e ^ {4x} \ sin (6x)} {104} – \ dfrac {4e ^ {4x} \ cos (6x)} {104} + \ dfrac {e ^ {4x} \ sin (2x)} {20} – \ dfrac {e ^ {4x} \ cos (2x)} {10} + C} [/ matemáticas] (donde [matemáticas] C [/ matemáticas] es la constante de integración indefinida)