[math] \ prod \ limits_ {p} ^ {} (1+ \ frac {1} {p}) [/ math] nos da números inversos libres de cuadrados. ¿Qué multiplicación similar nos da números inversos, que están libres de grados [matemáticas] n> 2 [/ matemáticas]?

Answer 1

Su producto genera la serie de inversos de números libres de cuadrados, que divergen. Si solo seleccionamos números primos arbitrarios, el resultado final no es en general el inverso de un número libre de cuadrados.

Del mismo modo, el producto que genera la serie de [math] n [/ math] th-power-free números es

[matemáticas] \ displaystyle \ prod_ {p} (1 + p ^ {- 1} + p ^ {- 2} + \ cdots + p ^ {- (n-1)}) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ prod_ {p} \ frac {1-p ^ {- n}} {1-p ^ {- 1}} [/ matemáticas]

¿Ves por qué? Cada expresión en el producto es esencialmente una lista de los poderes de [math] p [/ math] que pueden aparecer en el denominador de una manera mutuamente excluyente; ninguno de los términos en una expresión se multiplicará, es decir, cada término generado a partir de este producto tiene exactamente un factor de cada expresión. Nunca encontraremos un poder de una prima mayor que [matemática] n-1 [/ matemática] en ningún término generado por este producto, que es lo que queríamos. Y si tomamos el producto sobre todos los números primos, generaremos cada número libre de potencia [matemática] n [/ matemática] mediante la factorización única de enteros.