¿Cuál es el límite de [matemáticas] (x ^ 2 – 4x – 20.9999999999) / (x – 7) [/ matemáticas] cuando [matemáticas] x [/ matemáticas] se acerca a [matemáticas] 7 [/ matemáticas]?

Answer 1

No tiene limite. La función tiende a [math] + \ infty [/ math] ya que [math] x [/ math] tiende a [math] 7 [/ math] desde arriba, y tiende a [math] – \ infty [/ math] como [math] x [/ math] tiende a [math] 7 [/ math] desde abajo.

No tengo idea de lo que esto tiene que ver con transmitir a los estudiantes escolares “inteligentes” que las ideas de los límites son engañosas. Tal vez sea porque el número [math] -20.999999999 [/ math] está ‘muy cerca’ de [math] -21 [/ math]. Si ese es el caso, sigue leyendo.

Simplemente no nos importa que estos números estén “cerca”. Lo que nos importa es que son números diferentes. No solo eso, sino que los números [matemática] -20.999999999 [/ matemática] y [matemática] -21 [/ matemática] no están tan cerca como cree. Los números [math] -21+ \ varepsilon [/ math] y [math] -21 [/ math] en realidad están muy separados para [math] \ varepsilon \ ne 0 [/ math]. Cualquier cosa que [matemática] \ varepsilon [/ matemática] me des, puedo dividir esa [matemática] \ varepsilon [/ matemática] por un número ridículamente grande, digamos por [matemática] 10 ^ {10 ^ {10 ^ {1000}} } [/ math], y obtenga el número [math] \ delta [/ math], por ejemplo. El número [math] -21+ \ delta [/ math] está mucho, mucho, mucho más cerca de [math] -21 [/ math] que el número [math] -21+ \ varepsilon [/ math]. Y, sin embargo, el límite aún no existiría si reemplazamos el número [math] -21 [/ math] por este número [math] -21+ \ delta [/ math].

No entender algo no significa que esa cosa sea defectuosa.

Answer 2

Cuando vi por primera vez tu pregunta; Inmediatamente pensé que era una tontería porque la respuesta obvia es cualquier número (infinito) … o … cero. (¿Dónde está la falla?)

Cuando veo tu resumen debajo de la pregunta donde explicas tu “objetivo”; Me preguntaba qué quiere decir exactamente con las palabras descriptivas “límites” y “continuo” que tienen defectos.

Hablando sinceramente … todos los números ni siquiera existen realmente, excepto como un lenguaje inventado como una forma por la humanidad de comunicar patrones simétricos (o no), cantidad y medida. (las cantidades negativas realmente no existen. piénselo: piense en alguien que dice: “¡Eso fue emocionante hasta el décimo grado!”, como una forma de expresar la profundidad o el peso de la emoción. Ahora, piense en alguien que dice: “Eso ¡fue emocionante hasta el séptimo grado negativo! ”- para explicar la profundidad o extremidad, o intensidad, de la nada).

Sin embargo, cuando hablas de la naturaleza oficial, estándar, matemática, tal como la conocemos o inventamos, es limitada y continua … También me pregunto por qué crees que esos conceptos son defectuosos.

Por lo tanto, voy a preguntar: ¿Existe alguna implicación de que los “límites” son defectuosos porque algo limitado también puede funcionar continuamente? Por ejemplo, un círculo, parece limitado. Sin embargo, un círculo siempre tiene 360 ​​grados, con un diámetro de 180 grados sin importar la cantidad de área que se expande para abarcar; y su perímetro está continuamente dando vueltas y vueltas infinitamente. Podríamos decir que el área dentro del círculo es “limitada” dentro de su perímetro, pero también es un área continua que no deja de existir incluso si está llena de cosas. ¿Quizás las palabras “confinado” y “cesa” son más apropiadas?

¿Por qué crees que esos conceptos son defectuosos? Nos puede mostrar

Answer 3

Estoy de acuerdo con los comentarios de Alexander Farrugia . Tampoco veo a dónde conduce esto. ¿Ayuda la siguiente respuesta?

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ rightarrow 7} \ dfrac {x ^ 2–4x-c} {x-7} = \ begin {cases} 10, & c = 21 \\ \ text {no existe} , & c \ ne 21. \ end {cases} [/ math]

Observe que [matemáticas] x ^ 2–4x-21 = (x-7) (x + 3) [/ matemáticas]. Por lo tanto, el límite cuando [matemática] c = 21 [/ matemática] es el límite de [matemática] x + 3 [/ matemática] como [matemática] x \ a 7 [/ matemática].

Si [math] c \ ne 21 [/ math], el numerador [math] x ^ 2–4x-c \ to 21-c \ ne 0 [/ math] como [math] x \ to 7 [/ math]. Por lo tanto, el límite en el cociente no existe.

No estoy seguro de que haya mucho más que decir sobre esto .

Answer 4

Tal como se presenta, a medida que x se aproxima a 7, la expresión dada se aproxima a: inf desde la izquierda, + inf desde la derecha, y no está definida (0.0000000001 / 0) en x = 7, por lo que el límite no está definido.

Sin embargo, si la constante en el numerador se cambia a 21, el valor de la expresión en x = 7 se convierte en 0/0 y entra en juego la Regla de L’Hôpital. Al diferenciar el numerador y el denominador con respecto a x se obtiene (2x-4) / 1, que se evalúa en 10 para x = 7, como era de esperar, y el gráfico se ve así:

La expresión se aproxima a un valor de 10 a medida que x se acerca a 7 desde cualquier lado, aunque la expresión aún no está definida (y el gráfico tiene un agujero) en (7,10).

Answer 5

No tiene límite porque el numerador es igual a

[matemáticas] \ qquad (x-7) (x + 3) +. 0000000001 [/ matemáticas],

entonces la relación original es igual a

[matemáticas] x + 3 + \ frac {0.0000000001} {x-7} [/ matemáticas],

que podemos ver fácilmente tenderá al infinito positivo desde la derecha y al infinito negativo desde la izquierda.

Answer 6

No está bien entender lo que significa la continuidad, pero empujar ese malentendido a otros no lo está.

Tenga en cuenta que en la definición de continuidad queremos una [matemática] \ epsilon> 0 [/ matemática] arbitraria.

NO QUEREMOS [math] \ epsilon = [/ math] “algo que me parece bastante pequeño”.

Porque eso NO ES arbitrario.