Así que supongo que se pregunta por qué [matemáticas] 2x ^ 2 – x – 1 [/ matemáticas] es positivo si [matemáticas] x \ le- \ frac {1} {2} [/ matemáticas].
Hay 2 enfoques que puedo usar para mostrar esto.
El primer enfoque que usaré es la aritmética.
Recuerde que un negativo multiplicado por un negativo es positivo, un negativo multiplicado por un positivo es negativo, y restar un negativo es lo mismo que sumar un positivo. Si estos hechos son parte de su dificultad para comprender, deje un comentario y le explicaré por qué son ciertos.
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- Cómo integrar [matemáticas] \ displaystyle \ int \ dfrac {\ cos ^ 4x + \ sin ^ 4x} {\ sqrt {1+ \ cos4x}} \, \ text dx [/ math]
Basado en esos 3 hechos, lo que tenemos es esto:
[matemáticas] 2 \ cdot x \ cdot x – x – 1 [/ matemáticas]
Hay 3 términos, [matemática] 2 \ cdot x \ cdot x [/ matemática], luego [matemática] -x [/ matemática], luego [matemática] -1 [/ matemática].
Para el primer término, comienza con [math] 2 \ cdot x [/ math], si [math] x [/ math] es negativo, eso es positivo por negativo, dando un negativo. Ahora multiplicamos por [matemáticas] x [/ matemáticas] nuevamente. Eso será negativo por negativo, lo que da un positivo. Por lo tanto, el primer término es un término positivo.
Para el segundo término, está restando [matemáticas] x [/ matemáticas], restar un negativo es lo mismo que sumar un positivo, por lo que agregamos un positivo al término anterior que también fue positivo, lo que significa que el resultado sigue siendo un número positivo .
Para el último término, restamos 1. Siempre y cuando los primeros 2 términos sumen algo mayor que 1, restar 1 todavía dará un número positivo.
Eso es una prueba usando aritmética.
Ahora mostraré pruebas usando álgebra.
Como dijiste, los factores polinómicos a [matemática] (2x + 1) (x-1) \ ge 0 [/ matemática]
Podríamos tratar los contenidos del paréntesis como números.
[matemática] 2x + 1 [/ matemática] es un número, [matemática] x-1 [/ matemática] es otro número.
Para multiplicar 2 números y obtener un positivo, ambos números deben ser positivos (un positivo multiplicado por un positivo hace positivo) o ambos números deben ser negativos (un negativo multiplicado por un negativo hace positivo).
Primero, descubramos qué valores de x hacen que esos 2 números sean positivos:
[matemáticas] 2x + 1 \ ge 0 [/ matemáticas] Y [matemáticas] x-1 \ ge 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] 2x \ ge -1 [/ matemáticas] Y [matemáticas] x \ ge 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] x \ ge – \ frac {1} {2} [/ matemáticas] Y [matemáticas] x \ ge 1 [/ matemáticas]
¿Qué valores de x hacen que ambos sean verdaderos? Con un poco de razonamiento, puede determinar que ambos son verdaderos cuando [math] x \ ge 1 [/ math], cada valor igual o superior a 1 también está por encima de [math] – \ frac {1} {2} [/ math].
Ahora, descubramos qué valores de x hacen que esos 2 números sean negativos:
[matemáticas] 2x + 1 \ le 0 [/ matemáticas] Y [matemáticas] x-1 \ le 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] 2x \ le -1 [/ matemáticas] Y [matemáticas] x \ le 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] x \ le – \ frac {1} {2} [/ matemáticas] Y [matemáticas] x \ le 1 [/ matemáticas]
¿Qué valores de x hacen que ambos sean verdaderos? Con un razonamiento similar al anterior, puede determinar que ambos son verdaderos cuando [math] x \ le – \ frac {1} {2} [/ math], porque cada valor en o por debajo de [math] – \ frac {1} { 2} [/ math] también está por debajo de 1.
Eso nos da las 2 soluciones:
[matemáticas] x \ le – \ frac {1} {2} [/ matemáticas] o [matemáticas] 1 \ le x [/ matemáticas].