¿Podemos encontrar tres números primos que satisfagan a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2?

Answer 1

Esto no puede suceder si los 3 son números primos. Probemos y manipulemos la ecuación que tienes:

[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 = c ^ 2 – b ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 = (c – b) (c + b) [/ matemáticas]

LHS tiene factores: 1, a, [matemáticas] a ^ 2 [/ matemáticas].

Ahora, si a es primo y que [matemáticas] c> b [/ matemáticas], podemos decir:

CASO 1)

[matemáticas] c – b = 1, [/ matemáticas] o

[matemáticas] c = b + 1 [/ matemáticas]

Esto implica :

[matemáticas] a ^ 2 = 2b + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 – 1 = 2b [/ matemáticas]

[matemáticas] (a – 1) (a + 1) = 2b [/ matemáticas]

Dado que ‘a’ y ‘b’ son primos, LHS es múltiplo de 4. RHS es múltiplo de 2. Entonces, este caso no es válido.

CASO 2)

([matemáticas] c – b) = a [/ matemáticas]

Esto significa,

[matemáticas] a ^ 2 = a * (c + b) [/ matemáticas]

[matemáticas] a = c + b [/ matemáticas]

Lo que implica,

[matemáticas] a = c [/ matemáticas]

[matemáticas] b = 0 [/ matemáticas]

Como asumimos que ‘b’ es primo, este caso también es inválido.

CASO 3)

[matemáticas] a ^ 2 = (c – b) [/ matemáticas]

Esto implica

[matemáticas] 1 = (c + b) [/ matemáticas]

Este también es un caso no válido.

Por lo tanto, en ningún escenario puede existir un Triplete de Pitágoras que contenga solo números primos.

Answer 2

No.

La manera fácil de ver esto es que si [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 [/ matemáticas] (donde estos son números naturales), entonces al menos uno de los tres debe ser par . (Si [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] son ​​impares, entonces [matemática] a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemática] será par).

El único primo par es [matemáticas] 2 [/ matemáticas]. Pero eso significaría que la suma o diferencia de dos cuadrados es [matemática] 4 [/ matemática], y eso es imposible excepto en el caso trivial [matemática] 4-4 = 0 [/ matemática]. Por lo tanto, no puede haber triple de primos pitagóricos.

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Hay una forma algo más sofisticada de ver esto, utilizando la fórmula de Euclides (relativamente) conocida que caracteriza los triples pitagóricos primitivos .

Para cualquier número natural [matemáticas] m> n [/ matemáticas], [matemáticas] (m ^ 2-n ^ 2,2mn, m ^ 2 + n ^ 2) [/ matemáticas] es un triple primitivo. Y, por el contrario, si [math] (a, b, c) [/ math] es un triple pitagórico primitivo, podemos encontrar números naturales [math] m [/ math] y [math] n [/ math] como se indica arriba.

Ahora tenga en cuenta que [matemáticas] 2mn [/ matemáticas] es primo solo si [matemáticas] m = n = 1 [/ matemáticas]. Pero requerimos [matemáticas] m> n [/ matemáticas], una contradicción. Por lo tanto, no existe tal triple.

Answer 3

No. Prueba: Suponemos que a <= b <= c. No todos pueden ser impares, porque si lo fueran, también lo serían sus cuadrados, y entonces la suma de dos números impares también sería impar.

Esto obliga a a = 2. Entonces b no puede ser 2 o 3, por lo que tanto b como c deben ser 1 mod 3. Pero esto da 1 + 1 = 1 mod 3, otra contradicción.

Answer 4

No, no puedes, y se puede demostrar por qué. Tome b ^ 2 de ambos lados y obtendrá a ^ 2 = c ^ 2 – b ^ 2 = (c + b) * (cb), entonces

1 / c + b y c- b son divisibles por a

o

2 / uno de c + b y c- b es divisible por a ^ 2.

Como a, byc son todos positivos, sus cuadrados también deben serlo, lo que significa que c> a y c> b.

Toma 1 / primero. Si tanto c + b como cb son divisibles por a, (c + b) + (cb) también debe ser divisible por a, como debe ser (c + b) – (cb). Pero (c + b) + (cb) = 2c y (c + b) – (cb) = 2b, y se nos dice que ambos son divisibles por a. Dado que byc son primos, no tienen un factor común, lo que deja un solo valor que a podría tomar; a = 2.

a ^ 2 = 2 ^ 2 = 4, que no se puede agregar al cuadrado de ningún número entero para crear el cuadrado de ningún otro. Entonces 1 / falla.

Ahora veamos 2 /. Si (c + b) o (cb) es divisible por a ^ 2, entonces al menos uno de (c + b) y (cb) debe ser mayor que a ^ 2, lo que lleva a una contradicción ya que a ^ 2 = (c + b) * (cb) y, por lo tanto, (c + b) y (cb) son factores enteros de a ^ 2 y mayores que 1.

Entonces, 2 / tampoco se cumple y la respuesta es no; No podemos encontrar tales números.

[Apéndice; ¿Cómo sabemos que (cb), el más pequeño de (c + b) y (cb), debe ser mayor que 1? Debido a que hemos eliminado 2, el único número primo par, del conjunto de números primos posibles, sabemos que byc deben ser impares y (c – b) debe ser al menos 2.]

Answer 5

Si quieres una prueba más simbólica:

[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 = c ^ 2-b ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 = (cb) (c + b) [/ matemáticas]

Por lo tanto, a ^ 2 es el producto de dos enteros diferentes (b no es igual a 0).

Answer 6

Me aventuro a ampliar un poco más en la respuesta proporcionada anteriormente.

Mi respuesta es: no existe tal triplete que satisfaga la relación dada, porque uno de los elementos de un triplete pitagórico es siempre un número par. Observamos que, por definición, 2 es el único primo par, mientras que también reconocemos que ningún triplete pitagórico conocido contiene un 2. Por lo tanto, la relación anterior nunca se cumple para un triplete que consiste solo en primos. ¿Podría terminar con un QED con su permiso? No soy matemático.

Answer 7

No. No hay ninguno.

Sabemos que no hay triples pitagóricos que incluyan 2 (el único número primo par), ya que no hay dos cuadrados (positivos) que sumen 4 (puede verificar esto, por supuesto) y no hay dos cuadrados (positivos) que difieran solo en 4 (También se verifica fácilmente).

Por lo tanto, si hubiera un triple pitagórico primo, los tres elementos serían extraños. Sin embargo, sabiendo esto, si a y b son impares, también lo son a ^ 2 y b ^ 2, lo que significa que c ^ 2 debe ser par, lo que obliga a c a ser par.

Eso es una contradicción en mi libro.

Answer 8

Los números primos son, por definición, también enteros. Los únicos enteros que forman un triple pitagórico son 3,4,5 y múltiplos de esos números. Dado que los Primes solo tienen ellos mismos y 1 como factores, los otros triples se eliminan automáticamente. 4 no es primo ya que también es 2 al cuadrado. Por lo tanto, no hay triples pitagóricos que incluyan solo números primos.