¿Cuál es la diferencia entre las derivadas de (x) ^ x ^ x y (x ^ x) ^ x?

Answer 1

[matemáticas] (x ^ {x}) ^ {x} = x ^ {x. x} = x ^ {x ^ {2}} ……… (1) [/ matemáticas]

Pero

[matemáticas] x ^ {x ^ {x}} = x ^ {(x ^ {x})} …………. (2) [/ matemáticas]

(1) y (2) toman valores diferentes en la mayoría de los valores de [matemáticas] \; x. [/matemáticas]

Por ejemplo, cuando [matemáticas] \; x = 3 \;, \; [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ {x ^ {2}} = 3 ^ {{9}} = 19683 [/ matemáticas]

Pero

[matemáticas] x ^ {x ^ {x}} = 7625597484987 [/ matemáticas]

Tomando [matemáticas] \; \; u = x ^ {x ^ {2}} \; \; [/ matemáticas] obtenemos

[matemáticas] ln (u) = x ^ {2}. ln (x) \; \; [/ math]

que en la diferenciación da

[matemáticas] [/ matemáticas] [matemáticas] \; \; \ frac {1} {u}. \ frac {du} {dx} = x + 2x.ln (x) [/ math]

Por lo tanto

[matemáticas]\;\; \ frac {du} {dx} = u. (x + 2x.ln (x)) [/ matemáticas]

Por lo tanto

[matemáticas]\;\; \ frac {d} {dx} (x ^ {x ^ {2}}) = [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ {x ^ {2}}. (x + 2x.ln (x)) \ ;. [/ math] …… (3)

Tomando [matemáticas] \; \; v = x ^ {x ^ {x}} \; \; [/ matemáticas] obtenemos

[matemáticas] ln (v) = x ^ {x}. En (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \; w. ln (x) \ ;, [/ math] …… .. (4)

donde [matemáticas] \; \; w = x ^ {x} [/ matemáticas]

Diferenciando ambos lados de (4) obtenemos

[matemáticas] [/ matemáticas] [matemáticas] \; \; \ frac {1} {v}. \ frac {dv} {dx} = \ frac {dw} {dx}. ln (x) + \ frac {w} {x} [/ math]

Por lo tanto

[matemáticas]\; \ frac {dv} {dx} = v. \ left (ln (x). \ frac {dw} {dx} + \ frac {w} {x} \ right) [/ math]

[matemáticas] = x ^ {x ^ {x}}. \ left (ln (x). \ frac {dw} {dx} + \ frac {w} {x} \ right) [/ math]

[matemáticas] = x ^ {x ^ {x}}. \ left (ln (x). x ^ {x}. (1 + ln (x)) + \ frac {x ^ {x}} {x} \ right) [/ math], [math] [/ math]

ya que

[matemáticas] \ frac {dw} {dx} [/ matemáticas] = [matemáticas] x ^ {x}. (1 + ln (x)) [/ matemáticas]

Por lo tanto

[matemáticas]\;\; \ frac {d} {dx} (x ^ {x ^ {x}}) = [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ {x ^ {x}}. \ left (ln (x). x ^ {x}. (1 + ln (x)) + x ^ {x-1} \ right) [/ math]

Ahora puedes encontrar / ver la diferencia.

Answer 2

déjame decirte la diferencia usando log

suponer,

y = (x) ^ x ^ x

lny = (x ^ x) lnx = e ^ (xlnx) lnx

ahora puede diferenciar usando la regla de la cadena y la regla del producto.

2 y caso

y = (x ^ x) ^ x

lny = xln (x ^ x) = (x ^ 2) lnx

ahora aplica directamente la regla del producto.