¿Por qué cuando tengo ln | (x ^ 2 + 9) ^ 1/2/3 + x ^ 2/3 | es lo mismo que ln | (x ^ 2 + 9) ^ 1/2 + x ^ 2 |?

Answer 1

Creo que esta pregunta significa:

¿Por qué cuando tengo [matemáticas] \ ln \ left | \ dfrac {(x ^ 2 + 9) ^ {\ frac {1} {2}}} {3} + \ dfrac {x ^ 2} {3} \ right | [/ math] es lo mismo que [math] \ ln \ left | (x ^ 2 + 9) ^ {\ frac {1} {2}} + x ^ 2 \ right |? [/ math]

Así que investiguemos eso. El primero se simplifica a

[matemáticas] \ qquad \ ln \ left | \ sqrt {x ^ 2 + 9} + x ^ 2 \ right | – \ ln 3 [/ matemáticas]

El segundo se simplifica a

[matemáticas] \ qquad \ ln \ izquierda | \ sqrt {x ^ 2 + 9} + x ^ 2 \ derecha | [/ matemáticas]

Entonces son diferentes. Pero si los obtuvo resolviendo una integral indefinida, entonces debe tratarlos como iguales, es decir , ambos correctos o ambos incorrectos, porque las derivadas de ambas expresiones son las mismas.

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Si mi suposición es correcta, entonces puedo decirte que este fenómeno solo empeora cuanto más estudias cálculo integral. Así que abróchense el cinturón de seguridad. Uno de los ejemplos más escandalosos de dos personas que obtienen respuestas diferentes a integrales indefinidas, pero ambas correctas o incorrectas es cuando una persona obtiene

[matemáticas] \ qquad \ frac {1} {2} \ ln (1 + x) – \ frac {1} {2} \ ln (1-x) + C [/ matemáticas]

y el otro consigue

[matemáticas] \ qquad \ tanh ^ {- 1} (x) + C [/ matemáticas]

Ambas son respuestas perfectamente cromulentas a

[math] \ qquad \ displaystyle \ int \ dfrac {\ mathrm dx} {1-x ^ 2} [/ math]