Como está escrito, la integral diverge. En cambio, derivamos un resultado más interesante y general.
Para ver que es divergente, observe que para valores negativos suficientemente grandes de [math] x [/ math] y para un pequeño [math] \ epsilon> 0 [/ math], la función [math] \ frac {1} {1 + e ^ x}> 1- \ epsilon [/ math], y el área bajo la curva de [math] y = 1- \ epsilon [/ math] de algún valor negativo grande [math] x [/ math] to [math] – \ infty [/ math] es infinito, por lo que la integral es divergente.
Resultado general: [matemática] \ displaystyle \ int \ limits _ {- a} ^ a \ frac {\ mathrm dx} {1 + e ^ x} = a [/ math]
Para ver esto, reescribe como
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[matemática] \ displaystyle- \ int \ limits _ {- a} ^ a \ frac {-e ^ {- x} \, \ mathrm dx} {1 + e ^ {- x}} [/ math]
y hacer la sustitución
[matemáticas] \ displaystyle y = 1 + e ^ {- x}, \ mathrm dy = -e ^ {- x} \, \ mathrm dx [/ math].
Entonces la integral se convierte
[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align} – \ int \ limits_ {1 + e ^ a} ^ {1 + e ^ {- a}} \ frac {\ mathrm dy} {y} & = – \ ln | y | \, \ Big {|} _ {1 + e ^ a} ^ {1 + e ^ {- a}} \\ & = \ ln \ left | \ frac {1 + e ^ a} {1 + e ^ {-a}} \ right | \ end {align} [/ math]
que después de la simplificación de la fracción nos muestra que, de hecho,
[matemáticas] \ en caja {\, \ displaystyle \ int \ limits _ {- a} ^ a \ frac {\ mathrm dx} {1 + e ^ x} = a \,} [/ math]
(que diverge como [math] a \ to \ infty [/ math])
