Primero resolvamos un caso general
Deje [math] \ displaystyle \ dfrac {dU} {dt} = a – b U ^ 2 [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ dfrac {dU} {a – b U ^ 2} = dt [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ int \ dfrac {dU} {a – b U ^ 2} = \ int dt [/ math]
- En álgebra, ¿por qué es [matemáticas] 3 \ veces c = 3c [/ matemáticas]?
- [math] \ prod \ limits_ {p} ^ {} (1+ \ frac {1} {p}) [/ math] nos da números inversos libres de cuadrados. ¿Qué multiplicación similar nos da números inversos, que están libres de grados [matemáticas] n> 2 [/ matemáticas]?
- ¿Debería concentrarse en P (y | x) sobre P (y, x) si la inferencia causal no es importante?
- ¿Cuáles son algunos problemas no resueltos en álgebra?
- ¿Es y = x ^ {sin (x + y ^ 2)} una función? ¿Por qué o por qué no?
Suponga que [matemáticas] b U ^ 2 = a \ sin ^ 2 (x) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica \ dfrac {\ sqrt {b}} {\ sqrt {a}} U = \ sin (x) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica dU = \ dfrac {\ sqrt {a} \ cos (x)} {\ sqrt {b}} \, dx [/ math]
Al sustituir [matemática] U [/ matemática] con los valores anteriores en la ecuación, obtenemos,
[matemáticas] \ displaystyle \ int \ dfrac {\ sqrt {a} \ cos (x)} {\ sqrt {b} (a – a \ sin ^ 2 (x))} \, dx = t [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ int \ dfrac {\ sqrt {a} \ cos (x)} {a \ sqrt {b} \ cos ^ 2 (x)} \, dx = t [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ int \ dfrac {\ sec (x)} {\ sqrt {ab}} \, dx = t [/ matemáticas]
[math] \ displaystyle \ implica \ ln (| \ sec (x) + \ tan (x) |) = \ sqrt {ab} t + C [/ math] (donde [math] C [/ math] es una constante de integral indefinida)
Como [matemáticas] \ dfrac {b} {a} U ^ 2 = \ sin ^ 2 (x) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica 1 – \ dfrac {b} {a} U ^ 2 = 1 – \ sin ^ 2 (x) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica \ cos ^ 2 (x) = \ dfrac {a – b} {a} U ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica \ cos (x) = \ dfrac {\ sqrt {a – b}} {\ sqrt {a}} U [/ matemáticas]
[math] \ implica \ sec (x) = \ dfrac {\ sqrt {a}} {\ sqrt {a – b} U} [/ math]
Además, [math] \ implica \ tan (x) = \ dfrac {\ sqrt {b}} {\ sqrt {a – b}} [/ math]
Entonces, la ecuación se convierte en,
[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ ln \ left (\ dfrac {\ sqrt {a}} {\ sqrt {a – b} U} + \ dfrac {\ sqrt {b}} {\ sqrt {a – b}} \ right) = \ sqrt {ab} t + C [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ dfrac {\ sqrt {a} + \ sqrt {b} U} {\ sqrt {a – b} U} = e ^ {\ sqrt {ab} t + C} [/ math]
Supongamos que [matemáticas] K = e ^ C [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ sqrt {a} + \ sqrt {b} U = \ sqrt {a – b} Ke ^ {\ sqrt {ab} t} U [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica U = \ dfrac {\ sqrt {a}} {\ sqrt {a – b} Ke ^ {\ sqrt {ab} t} – \ sqrt {b}} [/ math]
Ahora tomemos el caso particular donde [matemáticas] a = 9.81 [/ matemáticas] y [matemáticas] b = 1.9 [/ matemáticas]
Entonces tenemos,
[matemáticas] \ displaystyle \ bbox [#AFA] {U = \ dfrac {\ sqrt {9.81}} {\ sqrt {7.91} Ke ^ {\ sqrt {18.639} t} – \ sqrt {1.9}}} [/ math ]