¿Cuál es la integración de (e ^ x) * logx?

Answer 1

La integral [math] {\ displaystyle \ int} \ mathrm {e} ^ x \ ln \ left (x \ right) \, \ mathrm {d} x [/ math] tiene una solución de forma cerrada en términos de una función especial .

Usando la integración por partes:

[matemática] {\ int} \ mathtt {f} \ mathtt {g} ‘= \ mathtt {f} \ mathtt {g} – {\ int} \ mathtt {f}’ \ mathtt {g} [/ math]

[matemáticas] \ mathtt {f} = \ ln (x); \ mathtt {f} ‘= \ dfrac {1} {x} [/ math]

[matemáticas] \ mathtt {g} ‘= e ^ x; \ mathtt {g} = e ^ x [/ math]

[matemáticas] {\ displaystyle \ boxed {\ int e ^ x \ ln (x) \, dx = e ^ x \ ln (x) – \ int \ frac {e ^ x} {x} \, dx \\ \ qquad \ qquad \ quad = e ^ x \ ln (x) – \ text {Ei} (x) + C} \,} [/ math]

donde [math] \ text {Ei} (x) [/ math] es la integral exponencial.

A continuación se muestra una gráfica de la integral (de Wolfram Alpha):

Teniendo en cuenta las propiedades de la integral exponencial, la solución se puede expresar de las siguientes maneras:

[matemáticas] {\ displaystyle \ int e ^ x \ ln (x) \, dx = e ^ x \ ln (x) + \ frac {1} {2} \ left (\ ln \ left (\ frac {1} {x} \ right) – \ ln (x) \ right) + \ ln (-x) + \ Gamma (0, -x) + constante} [/ math]

[matemáticas] \ Gamma (a, z) [/ matemáticas] es la función gamma incompleta.

[matemáticas] {\ displaystyle \ int e ^ x \ ln (x) \, dx = e ^ x \ ln (x) – \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {x ^ k} { kk!} + \ frac {1} {2} \ ln \ left (\ frac {1} {x} \ right) – \ frac {\ ln (x)} {2} – \ gamma + C} [/ math ]

[matemáticas] \ gamma [/ matemáticas] es la constante de Euler-Mascheroni:

[matemáticas] \ gamma \ aprox 0.57721566490153286060651209008240243104215933593992 [/ matemáticas]

Answer 2

La integral de la función dada no se puede expresar en términos de funciones elementales. Pero podemos usar la serie de Taylor para ayudarnos a encontrar una respuesta aproximada. Primero aplique la integración por partes como se muestra a continuación.

La integral [matemática] \ int \ frac {e ^ x} {x} dx [/ matemática] puede aproximarse convenientemente con los primeros términos de la serie Taylor con centro [matemática] a = 1 [/ matemática] (Tenga en cuenta que no puede usar el centro [matemática] a = 0 [/ matemática] porque la función no está definida en [matemática] x = 0 [/ matemática]).

Este resultado solo es válido para valores de x en el rango [matemática] 0 <[/ matemática] [matemática] x <2 [/ matemática] porque la serie diverge para otros valores de x.